扩展欧几里得2（详解）

一开始学习扩展欧几里得发现学习了模板代码后，仍然不会做题，很多题要求的没有那么简单，而且涉及到了很多之前不知道的知识，因此首先先要补充一下可能会用到的知识：

1、二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。设

、

是该方程的一组整数解，那么该方程的所有整数解可表示为

。

2、关于同余和模运算的一些总结：

          在这里我们介绍以下三个公式:

          (a+b)mod n =  ((a mod n)+ (b mod n))mod n;

          (a-b) mod n = ((a mod n )- (b mod n)+n)mod n;

          ab mod n = (a mod n) (b mod n) mod n

          注意，在减法中，由于a mod n 可能小于b mod n，需要在结果上加上n，而在乘法中，需要注意a mod n 和 b mod n相乘是否会溢出，因此这里要注意用long 型保存中间结果。

    模线性方程

     题意：输入正整数a,b,n,解方程ax ≡ b (mod n) a,b,n<=10⁹  。

    解答：

       a ≡  b(mod n)的意思是说“a 和 b关于模n 同余 ”，即a mod n = b mod n。而a ≡ b mod n 的充要条件是: （a-b） 是n 的整数倍。 这样，这个问题就变成了ax-b是n的正整数倍。设这个"倍数"是y,则ax - b = ny,即ax - ny= b，因此，这个就回到了解不定方程的问题。

       比如给定方程ax +by +c = 0,求出满足这个方程的整数解（x,y）.这里，我们首先来学习扩展欧几里德算法——找出一对整数(x,y)，使得ax+by = gcd(a,b),这里的x,y不一定是整数，也可能是负数或者0，例如gcd(6,15) = 3,6*3 - 15*1 = 3,其中x = 3,y=-1;这个方程还有其他解，比如x = -2,y = 1;

        可以证明：设a,b,c为任意整数。若方程ax+by = c 的一组整数解为x₀,y₀则它的任意整数解都可以写成（x₀+kb^',y₀+ka^'），

其中a^' =a/gcd(a,b),b^' = b/gcd(a,b),k为任意整数。

         假设对于ax - ny= b，其中a = 6,n = -15,b = 9，即6x+15y = 9,根据欧几里德算法，我们得到6X(-2)+15X1 = 3,两边同时乘以3，即可得到6X(-6)+15X3 = 9，即x = -6,y = 3是6x+15y = 9的一组解。

        最后，还有这样一个结论：设a,b,c为任意整数，g = gcd(a,b),方程ax+by = g的一组解是(x₀,y₀),则当c是g的倍数时，ax+by=c的一组解是(x₀c/g,y₀c/g);当c不是g的倍数时无整数解。

 3、扩展欧几里得算法详解（原文： http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595）

    先介绍什么叫做欧几里德算法

    有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的naïve ，那怎么做？

    欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下：

    

    由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？

    现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：

        x = x0 + (b/gcd)*t

        y = y0 – (a/gcd)*t

    为什么不是：

        x = x0 + b*t

        y = y0 – a*t

   那是因为：

    b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？

    注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗？要是实在还有什么不明白的，看看《基础数论》（哈尔滨工业大学出版社），这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚

    现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。

    我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd

    当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？

    假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？

    我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：

        gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

            = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

            = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

    对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？

    这里：

        x = y1

        y = x1 – a/b*y1

    以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：

    

    依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。

    这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

    扩展欧几里德有什么用处呢？

    求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元

    什么叫乘法逆元？

    

    这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

    这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

    看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

    接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

可以这样思考：

    x 的通解不是 x0 + m*t 吗？

    那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

    可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？

    当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：

    

4、求最小正整数解的模板：

LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);    LL temp=x;    x=y;    y=temp-a/b*y;    return ans;}LL cal(LL a,LL b,LL c){    LL x,y;    LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);    if(c%gcd!=0) return -1;    x*=c/gcd;//转化为a*x+b*y=c的解    b/=gcd;//约去c后原来b就变为了b/gcd;    if(b<0) b=-b;//如果b为负数就去绝对值    LL ans=x%b;    if(ans<=0) ans+=b;//求最小正整数解    return ans;//返回的就是最小正整数解}

5、扩展欧几里得一般模板

int gcd(int a,int b,int &x,int &y){    if (b==0){        x=1,y=0;        return a;    }    int q=gcd(b,a%b,y,x);    y-=a/b*x;    return q;}