Codeforces Gym-101116-F (Flight Plan)

题目链接：

Gym-101116

题目大意：

假设地球是一个球体，给出起点的经纬度A(x1,y1), 终点的经纬度B(x2,y2)。
x: 纬度，北纬为正，南纬为负；
y: 经度，东经为正，西经为负。
令：
D1为两点的距离；
D2为起点A先沿着纬线，再沿着经线 走到终点B的距离。
求D1,D2。

数据范围：

1≤T≤10000
∣x1∣,∣x2∣≤90,∣y1∣,∣y2∣≤180

解题思路：

这道题不重要，重要的是怎么求地球上两点的距离。

图的话，将就看这个吧！懒得画了，，，只看图就好，，，


球面坐标和直角坐标存在一一对应的关系：球面有一点M(r,φ,θ)，

则，点M的直角坐标和球面坐标的关系为：

⎧⎩⎨x=rcosφcosθy=rcosφsinθz=rsinφ

设A(r,α,β),B(r,φ,θ)，
则有OA→=(rcosαcosβ,rcosαsinβ,rsinα),OB→=(rcosφcosθ,rcosφsinθ,rsinφ)
由此可得，夹角ang=arccos(OA→⋅OB→∣OA→∣⋅∣OB→∣)

化简得：ang=arccos(cosαcosφcos(β−θ)+sinαsinφ)
夹角出来了，距离就好办了。

代码：

//化为弧度制double rad(double d) {    return d * PI / 180.0;}//求两点之间的距离double dis(Point A, Point B) {    A.x = rad(A.x); A.y = rad(A.y);    B.x = rad(B.x); B.y = rad(B.y);    double ang = acos(cos(A.x) * cos(B.x) * cos(A.y - B.y) + sin(A.x) * sin(B.x));    double s = ang * R;    //R为地球半径    return s;}

我还看到一个公式，但我不知道怎么推出来的，若有好心大佬，求解答。

double dis(Point A, Point B) {    double Theta = A.x - B.x;    double Beta = A.y - B.y;    double ang = 2 * asin(sqrt(sin(Theta / 2) * sin(Theta / 2) + cos(A.x) * cos(B.x) * sin(Beta / 2) * sin(Beta / 2)));    double s = ang * R;    return s;}

距离的问题解决了，其他都不重要了。不对，这道题还没完呢！，，，
有一个坑点：当一个点在东半球，另一个在西半球时，需要特别注意一下角度，稍微想想。

AC代码：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <queue>#include <set>#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int inf = 1 << 30;const LL INF = 1LL << 60;const double PI = acos(-1.0);const double R = 6371.0;int T;struct Point {    double x, y;};Point a, b, c;//化为弧度制double rad(double d) {    return d * PI / 180.0;}//求弧长double arc(double Theta, double r) {    return Theta * r;}//求两点之间的距离double dis(Point A, Point B) {    A.x = rad(A.x); A.y = rad(A.y);    B.x = rad(B.x); B.y = rad(B.y);    double ang = acos(cos(A.x) * cos(B.x) * cos(A.y - B.y) + sin(A.x) * sin(B.x));    /*这个公式也可以,但我不知道是怎么推的    double Theta = A.x - B.x;    double Beta = A.y - B.y;    double ang = 2 * asin(sqrt(sin(Theta / 2) * sin(Theta / 2) + cos(A.x) * cos(B.x) * sin(Beta / 2) * sin(Beta / 2)));    */    double s = ang * R;    return s;}int main(){    scanf("%d", &T);    while(T--) {        scanf("%lf %lf %lf %lf", &a.x, &a.y, &b.x, &b.y);        //这个稍微想想就明白了,一个小坑点        if(abs(a.y - b.y) > 180.0) {            if(a.y < 0.0) a.y += 360.0;            else if(b.y < 0.0) b.y += 360.0;        }        c.x = a.x; c.y = b.y;        double r = R * cos(rad(a.x));        printf("%.10lf %.10lf\n", dis(a, b), dis(b, c) + arc(rad(abs(a.y - b.y)), r));    }    return 0;}