最大子矩阵和

(1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，时期各元素之和为最大。

 (2)问题分析：  用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：

最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，，设，则

容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:

//3d4-5 最大子矩阵之和问题  #include "stdafx.h"  #include <iostream>   using namespace std;   const int M=4;  const int N=3;  int MaxSum(int n,int *a);  int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);  int main()  {      int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}};      for(int i=0; i<M; i++)      {          for(int j=0; j<N; j++)          {              cout<<a[i][j]<<" ";          }          cout<<endl;      }      cout<<endl;      cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;      return 0;  }  int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N])  {      int sum = 0;      int *b = new int[n+1];      for(int i=0; i<m; i++)//枚举行      {          for(int k=0; k<n;k++)          {              b[k]=0;          }          for(int j=i;j<m;j++)//枚举初始行i,结束行j          {              for(int k=0; k<n; k++)                   b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和              int max = MaxSum(n,b);              if(max>sum)              {                 sum = max;              }          }      }      return sum;  }  int MaxSum(int n,int *a)  {      int sum=0,b=0;      for(int i=1; i<=n; i++)      {          if(b>0)          {              b+=a[i];          }          else          {              b=a[i];          }          if(b>sum)          {              sum = b;          }      }      return sum;  }  

以上代码MaxSum2方法的执行过程可用下图表示：