第2章-从头开始：自然数 2.2-加法

定义

现在已知的是增长运算以及2.1节的Peano公理和一些定义

• 以下递归的定义加法
  
  • 设 m 是自然数，定义 0+m=m
  • 假设已经定义了 n+m，则定义 (n++)+m=(n+m)++
• 一个自然数是正的，当且仅当它不等于 0
• 设 n 和 m 是自然数，n≥m 或者 m≤n，当且仅当对于某个自然数 a，n=m+a 成立
• n>m 或者 m<n 当且仅当 n≥m 且 n≠m

已证命题

1. n+0=n
2. n+(m++)=(n+m)++，特殊的有 n+1=n++
3. n+m=m+n（交换律，可由1、2推出）
4. a+c=b+c⇒a=c（消去律，归纳法+公理2.4）
5. a 是正的，b 是自然数，则 a+b 是正的
6. 若 a+b=0，那么 a=0，b=0

习题

• 证明加法满足结合律
  
  • 固定两个变元，对第三个变元进行归纳
  • (a+b)+0=(a+b)=a+ba+(b+0)=a+(b)=a+b
  • 假设 (a+b)+c=a+(b+c)，
    则(a+b)+(c++)=((a+b)+c)++=(a+(b+c))++，
    a+(b+(c++))=a+((b+c)++)=(a+(b+c))++，由数学归纳法知原式成立
• 设 a 是正数，证明恰存在一个自然数 b，使得 b++=a
  
  • 证明1（反证）
    
    • 假设存在两个不同的自然数使得 b++=a，c++=a，由公理2.4可知 b=c，矛盾
    • 假设不存在自然数 b，使得 b++=a，由公理2.3知 a=0，与 a 是正数矛盾
  • 证明2（归纳）
    
    • 先证明不存在两个及以上的情况，同证明1第一条
    • a=1，存在 0++=a
    • 假设存在自然数 b，使得 b++=a；
      a++=a+1=(b++)+1=(b+1)++，对于 a++ 也成立
• 证明自然数的序的基本性质
  
  • a≥a（序是自反的）
    a=a+0，由定义可知命题成立
  • 若 a≥b,b≥c，则 a≥c（序是传递的）
    设 a=b+d,b=c+e.c,e∈N
    a=(c+e)+d=c+(e+d),(e+d)∈N
  • 若 a≥b,b≥a，则 a=b（序是反对称的）
    a=b+d,b=a+e.c,e∈N
    a=(a+e)+d=a+(e+d)⇒0=(e+d)⇒e=0,d=0
  • a≥b 当且仅当 a+c≥b+c（加法保序）
    
    • 引理： a≥b⇒a++≥b++
      a≥b⇒a=b+c.a++=(b+c)++=(b++)+c⇒a++≥b++
    • 归纳法证明（简略）
      a+(c++)=(a+c)++≥(b+c)++=b+(c++)
  • a<b 当且仅当对于某正数 d，b=a+d
    
    • 充分性：
      a<b⇒b=a+d,b≠a
      d=0⇒b=a，与已知条件矛盾，故 d≠0，d 为正数
    • 必要性：
      b=a⇒d=0​，与已知条件矛盾，故 b≠a​，由定义知 a<b​
  • a<b 当且仅当 a++≤b
    
    • 引理：c∈N,c≠0⇒c≥1
      c 为正数，故 ∃d,d++=c,d+1=c⇒c≥1
    • a<b⇒b=a+c,c=1+d
      b=a+(1+d)=(a+1)+d=(a++)+d⇒a++≤b
• 自然数序的三歧性
  a,b,c∈N，以下三个命题 a>b,a=b,a<b 中，有且只有一个为真
  
  • 若有多于一个命题同时成立（反证）
    
    • a>b，由定义知 a≠b
    • a<b，由定义知 a≠b
    • a<b,a>b⇒a≤b,a≥b⇒a=b，矛盾
  • 固定 b 对 a 进行归纳
    a=0.b=b+0⇒b≥0⇒0=b∥0<b
    假设对于 a 已经成立，下证 a++
    
    • 若 a>b，有 a++=a+1⇒a++>a，故a++>b，设 a=b+c 也可证明
    • 若 a=b，有 a++=b++=b+1⇒a++>b
    • 若 a<b，有 a++≤b⇒a++=b∥a++<b
• 强归纳法原理
  
  定义 Q(n):∀m0≤m<n,P(m) is true（n<m0 时，莫须有地成立）
  
  • 特别的，Q(m0) 成立，即 P(m0) 成立
  • 假设 Q(n) 成立，由定义知 P(n) 成立
    m≤n,⇔m<n++，故 Q(n++) 成立
• 向后归纳原理
  
  定义 Q(n):if P(n) is true ,∀m≤n,P(m) is true
  
  • Q(0) 显然成立
  • 假设 Q(n) 成立，设 P(n++) 为真
    P(n++) is true ,∀m≤n,P(m) is true⇒∀m≤n++,P(m) is true⇒Q(n++) is true