第2章-从头开始：自然数 2.1-Peano 公理

一些定义

• 数零~0
• 增长运算，n++代表 n 的后继
• 1是数0++，2是数（0++）++，3是数（（0++）++）++，…
• 1 = 0++，2 = 1++，3 = 2++，…
• 自然数集N由 0 和每个可由 0 经增长而得到的所组成的

公理内容

• 图片中分别为公理2.1~2.5
• 公理2.3是为了避免“回归事件（循环）”
• 公理2.4解决了增长发生回归但不回归到0的异常情况

公理2.5 数学归纳原理

设P(n)是关于自然数的一个性质

• P(0)为真
• 假设 P(n) 为真，可以推出P(n+1)为真

则对于每个自然数n，P(n)都是真的

其他

• 一个给定的自然数是有限的，只能趋近于无限，不是无限的
• 整个自然数集合是无限的，由有限的元素组成
• 递归定义加法和乘法

我的想法

关于等号，一些东西还是有待商榷的

• 等于（=）是一种运算吗，我想不是。它表示一种状态，两个自然数（甚至是两样东西）之间的一种关系
• 等于具有自反性，a=b⇔b=a
• 等于具有传递性，a=b，b=c⇒a=c
• 不等于（≠）有自反性,无传递性
• 如何证明呢？书中直接就用了这些性质，这是定义公理吗，看着也不是啊….