UVA11400 分析推理+dp

题目大意

有n种灯泡，不同种类的灯泡需要同种电源，同种灯泡只需一个电源。你现在要设计一个照明系统，给出n种灯泡的电压V，电源费用K，一个灯泡的费用C和所需该种灯泡数量L，电压小的灯泡可以被电压大的灯泡代替，求最小花费。

题目分析

由人类的直觉，我们应该把灯泡按照电压从大到小排序，以方便处理。
推理1：一种灯泡要么全部替换为另一种，要么都不换。
证明：
如果将灯泡t全部替换为灯泡i比都不替换优，那么说明：
ki+ci∗(li+lt)<ki+kt+ci∗li+ct∗lt
那么ci∗lt<kt+ct∗lt
已经将t都换为i后，如果将部分灯泡换回t的话，还要再买一个电源，花费kt，并且灯泡价格依据式子并不会带来什么优惠。
同理，如果不换更优，那么再换一部分，由于ci∗lt>kt+ct∗lt，也不会带来任何优惠。
状态转移：令sum[i]表示电压按照从大到小排序后，灯泡数量前缀和。f[i]表示前i种灯泡处理好的最小价格。
由人类的直觉，我们认为状态转移方程为：
f[i]=min(f[i],f[j−1]+kj+(sum[i]−sum[j−1])∗cj)(j≤i)
为什么可以直接替换一个区间呢？见推理2.
推理2：状态转移方程正确性证明。
证明：
设vi>vj>vt
如果t被i替换比较优的前提下，j不被t替换更优（即状态转移方程的反例）则：
ki+(li+lj+lt)∗ci>ki+kj+(li+lt)∗ci+lj∗cj
即：ci∗lj>cj∗lj+kj
即：ci>cj
然而出现这种反例也没关系，因为如果出现如上情况，我们让j到i之间的灯泡全被j替换更优。现在我们证明这一点，则要证:
ki+kj+(li+lt)∗ci+lj∗cj>ki+kj+li∗ci+(lt+lj)∗cj
即要证：lt∗ci>lt∗cj
好吧，那么一定成立。也就是状态转移方程正确性成立。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int read(){    int q=0;char ch=' ';    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();    while(ch>='0'&&ch<='9')q=q*10+ch-'0',ch=getchar();    return q;}int n,ans,sum[1005],f[1005];struct node{int v,k,c,num;}a[1005];bool cmp(node x,node y){return x.v>y.v;}int main(){    int i,j;    while(1){        n=read();if(!n)break;        for(i=1;i<=n;++i)            a[i].v=read(),a[i].k=read(),a[i].c=read(),a[i].num=read();        sort(a+1,a+1+n,cmp);        for(i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i].num;        for(i=1;i<=n;++i){            f[i]=1e7;            for(j=1;j<=i;++j)                f[i]=min(f[i],f[j-1]+a[j].k+(sum[i]-sum[j-1])*a[j].c);        }        printf("%d\n",f[n]);    }    return 0;}