bzoj1045: [HAOI2008] 糖果传(数论)
来源:互联网 发布:多益网络是否有上市 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 23:42
题目传送门
双倍经验。3293。
解法:
一碰到数论就是各种不会啊只会膜题解了。
hzw的写的很好我看懂了。
原帖
首先,最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来,等于糖果总数除以n,用ave表示。
假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果,Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果,如果Xi<0,说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果,X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。
对于第一个小朋友,他给了第n个小朋友X1颗糖果,还剩A1-X1颗糖果;但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果,所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意,最后的糖果数量等于ave,即得到了一个方程:A1-X1+X2=ave。
同理,对于第2个小朋友,有A2-X2+X3=ave。最终,我们可以得到n个方程,一共有n个变量,但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程,所以实际上只有n-1个方程是有用的。
尽管无法直接解出答案,但可以用X1表示出其他的Xi,那么本题就变成了单变量的极值问题。
对于第1个小朋友,A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave,下面类似)
对于第2个小朋友,A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2
对于第3个小朋友,A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3
……
对于第n个小朋友,An-Xn+X1=ave。
我们希望Xi的绝对值之和尽量小,即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离,所以问题变成了:给定数轴上的n个点,找出一个到他们的距离之和尽量小的点,而这个点就是这些数中的中位数,证明略。
代码实现:
#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;ll a[1110000],c[1110000];int main() { int n;scanf("%d",&n); ll sum=0; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&a[i]);sum=sum+a[i]; } sum/=n; for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]+a[i]-sum; sort(c+1,c+1+n); ll mid=c[n/2+1]; ll ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(c[i]-mid); printf("%lld\n",ans); return 0;}
数论真的恶心。
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