第四章 学习Shader所需要的数学基础

一.坐标系与矢量

1.左手座标系与右手座标系

左手座标系使用左手法则，即旋转时顺时针旋转。

右手坐标系使用右手法则，即旋转时逆时针旋转。

Unity使用左手坐标系。这也竟未着在模型空间，一个物体的右侧，上侧，前侧分别对应x轴，y轴,z轴。

但在观察空间，Unity使用右手坐标系。观察空间，就是指以摄像机为原点的坐标系。

二.坐标系与矢量

1.基本概念

矢量相减是减数指向被减数。

如果我们要计算b相对于a的位移，可以用b减去a

2.矢量的点积

    2.1 公式

a*b = ax*bx+ay*by+az*bz;

    2.2 几何意义

意义1：

a*b即 b在a上的投影。通过点积结果的符号，可以判断两条直线的关系。

意义2

a*b = |a||b|*cos

3.矢量的叉乘

    3.1 公式

aXb = (aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)

注意叉乘不满足交换率和结合率。

    3.2几何意义：

1:|axb|=|a||b|sin

2:计算一个垂直于平面，三角形的矢量，也可以用于判断 三角面片的朝向。

三.矩阵

3.1 矩阵乘法

一个rxn矩阵A和一个nxc矩阵相乘，结果是一个rxc矩阵。

注意第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相同，否则无法相乘。

3.2 矩阵乘法性质

    3.2.1 不满足交换率，向量叉乘满足交换率

    3.2.2 满足结合率，向量叉乘不满足结合率

3.3 方块矩阵

方块矩阵，简称方阵，指行和列数目相等的矩阵。

一个矩阵除了对角元素外的所有元素都为0，那么这个矩阵就叫对角矩阵。

3.4 单位矩阵

对角数字都是1的对角矩阵，是单位矩阵。

单位矩阵与任何矩阵相乘还是原来的矩阵，相当于标量中的数字1.

3.5 转置矩阵（右上角T表示 )

将原矩阵翻转一下，即原矩阵的第i行变成 了第j列，第j行变成了第j列。

3.6 逆矩阵（右上角-1）

必须是方阵。

方阵M与逆矩阵M-1相乘，那么结果将是一个单位矩阵。

如果存在逆矩阵，我们就说这个矩阵是可逆的，或者非奇异的。

几何意义：

如果用M矩阵进行了一次变换同，再使用逆矩阵进行另外一次变换，会得到原来 的矢量。

3.7 正交矩阵

方阵M和它的矩阵乘积是单位矩阵，则说这个矩阵是正交矩阵,即逆矩阵与转置矩阵相等。

意义：

三维变换中经常使用逆矩阵求解反向变换。逆矩阵求解计算量大，而转置矩阵却非常容易求解。

3.8 行矩阵与列矩阵

在unity中，常规做法是把矢量放在矩阵的右铡，即把矢量转换成列矩阵来进行计算。

四.矩阵几何意义：变换

1.齐次坐标

3X3矩阵不能表示平衡操作，所以将其扩展到4X4矩阵，这就是齐次坐标。

五.坐标空间

模型空间->世界空间->观察空间（摄像机空间）->裁剪空间（视锥体）->屏幕空间