虚树模板

来源：互联网发布：零基础学淘宝美工难吗编辑：程序博客网时间：2024/05/21 05:06

虚树详解＋例子分析＋模板

概念：

给出一棵树.

每次询问选择一些点,求一些东西.这些东西的特点是,许多未选择的点可以通过某种方式剔除而不影响最终结果.

于是就有了建虚树这个技巧.....

我们可以用log级别的时间求出点对间的lca....

那么,对于每个询问我们根据原树的信息重新建树,这棵树中要尽量少地包含未选择节点. 这棵树就叫做虚树.

接下来所说的"树"均指虚树,原来那棵树叫做"原树".

构建过程如下:

按照原树的dfs序号(记为dfn)递增顺序遍历选择的节点. 每次遍历节点都把这个节点插到树上.

首先虚树一定要有一个根. 随便扯一个不会成为询问点的点作根.（并不觉得是这样）

维护一个栈,它表示在我们已经(用之前的那些点)构建完毕的虚树上,以最后一个插入的点为端点的DFS链.

设最后插入的点为p(就是栈顶的点),当前遍历到的点为x.我们想把x插入到我们已经构建的树上去.

求出lca(p,x),记为lca.有两种情况:

　　1.p和x分立在lca的两棵子树下.

　　2.lca是p.

　　(为什么lca不能是x?

　　因为如果lca是x,说明dfn(lca)=dfn(x)<dfn(a),而我们是按照dfs序号遍历的,于是dfn(a)<dfn(x),矛盾.)

对于第二种情况,直接在栈中插入节点x即可,不要连接任何边(后面会说为什么).

对于第一种情况,要仔细分析.

我们是按照dfs序号遍历的(因为很重要所以多说几遍......),有dfn(x)>dfn(p)>dfn(lca).

这说明什么呢? 说明一件很重要的事:我们已经把lca所引领的子树中,p所在的子树全部遍历完了!

　　简略的证明:如果没有遍历完,那么肯定有一个未加入的点h,满足dfn(h)<dfn(x),

　　　　　　　我们按照dfs序号递增顺序遍历的话,应该把h加进来了才能考虑x.

这样,我们就直接构建lca引领的,p所在的那个子树. 我们在退栈的时候构建子树.

p所在的子树如果还有其它部分,它一定在之前就构建好了(所有退栈的点都已经被正确地连入树中了),就剩那条链.

如何正确地把p到lca那部分连进去呢?

设栈顶的节点为p,栈顶第二个节点为q.

重复以下操作:

　　如果dfn(q)>dfn(lca),可以直接连边q->p,然后退一次栈.

　　如果dfn(q)=dfn(lca),说明q=lca,直接连边lca->p,此时子树已经构建完毕.

　　如果dfn(q)<dfn(lca),说明lca被p与q夹在中间,此时连边lca->q,退一次栈,再把lca压入栈.此时子树构建完毕.

　　　　如果不理解这样操作的缘由可以画画图.....

最后,为了维护dfs链,要把x压入栈. 整个过程就是这样.....

下图是自己画的一个例子：

附上模板:

///////////--虚树模板--/////////////////////传入树的一个子集，若以按dfs序排好直接调用build_vtree//否则调用vsort//复杂度O( nlog(n) ) n是虚树的大小#define N 11000#define LN 20////////////--标准建邻接表--/////////////struct node{    int to,next;}edge[2*N];int cnt,pre[N];void add_edge(int u,int v){    edge[cnt].to = v;    edge[cnt].next = pre[u];    pre[u] = cnt++;}//////////////////////////////////////int deep[N];//记录每个点的深度int order[N];//记录每个点的访问次序int indx=0;struct Lca_Online{    int _n;        int dp[N][LN];        void _dfs(int s,int fa,int dd)    {        deep[s] = dd;        order[s] = ++indx;        for(int p=pre[s];p!=-1;p=edge[p].next)        {            int v = edge[p].to;            if(v == fa) continue;            _dfs(v,s,dd+1);            dp[v][0] = s;        }    }        void _init()    {        for(int j=1;(1<<j)<=_n;j++)        {            for(int i=1;i<=_n;i++)            {                if(dp[i][j-1]!=-1) dp[i][j] = dp[ dp[i][j-1] ][j-1];            }        }    }    void lca_init(int n)    {        _n = n;        memset(dp,-1,sizeof(dp));        //_dfs(firstid,-1,0);        indx = 0;        _dfs(1,-1,0);        _init();    }        int lca_query(int a,int b)    {        if(deep[a]>deep[b]) swap(a,b);        //调整b到a的同一高度        for(int i=LN-1;deep[b]>deep[a];i--)            if(deep[b]-(1<<i) >= deep[a]) b = dp[b][i];        if(a == b) return a;        for(int i=LN-1;i>=0;i--)        {            if(dp[a][i]!=dp[b][i]) a = dp[a][i],b = dp[b][i];        }        return dp[a][0];    }}lca;int stk[N],top;int mark[N];//标示虚树上的点是否是无用点vector<int>tree[N];//存边vector<int>treew[N];//存权void tree_add(int u,int v,int w){    tree[u].push_back(v);    tree[v].push_back(u);    treew[u].push_back(w);    treew[v].push_back(w);}//使用前调用 lca.lca_init(n); 初始化//返回虚树根节点,虚树的边默认为原树上两点的距离int build_vtree(int vp[],int vn)//传入按dfs序数组，以及长度(要自己写按dfs排序的数组){    if(vn == 0) return -1;    top = 0;        stk[top++] = vp[0];    tree[ vp[0] ].clear();    treew[ vp[0] ].clear();    mark[ vp[0] ]=1;    for(int i=1;i<vn;i++)    {        int v = vp[i];                int plca = lca.lca_query(stk[top-1], v);//最近公共祖先        if(plca == stk[top-1]) ;//不处理        else        {            int pos=top-1;            while(pos>=0 && deep[ stk[pos] ]>deep[plca])                pos--;            pos++;            for(int j=pos;j<top-1;j++)            {                tree_add(stk[j],stk[j+1],deep[stk[j+1]]-deep[stk[j]]);            }            int prepos = stk[pos];            if(pos == 0)            {                tree[plca].clear(),treew[plca].clear(),stk[0]=plca,top=1;                mark[plca] = 0;            }            else if(stk[pos-1] != plca)            {                tree[plca].clear(),treew[plca].clear(),stk[pos]=plca,top=pos+1;                mark[plca] = 0;            }            else top = pos;            tree_add(prepos,plca,deep[prepos]-deep[plca]);                    }        tree[v].clear();        treew[v].clear();        stk[top++] = v;        mark[v] = 1;    }    for(int i=0;i<top-1;i++)    {        tree_add(stk[i], stk[i+1], deep[stk[i+1]]-deep[stk[i]]);    }        return vp[0];}//////////////--先排序，再建虚树--//////////////////////struct vnode{    int order,id;}vg[N];int vcmp(vnode t1,vnode t2){    return t1.order<t2.order;}int vsort(int vp[],int vn)//传入未排序的数组，以及长度.{    for(int i=0;i<vn;i++) vg[i].id = vp[i],vg[i].order = order[ vp[i] ];    sort(vg,vg+vn,vcmp);    for(int i=0;i<vn;i++) vp[i]=vg[i].id;        return build_vtree(vp, vn);}//////////////////////////////////////void dfs(int s,int fa)//{//    printf("%d ",s);//    for(int i=0;i<tree[s].size();i++)//    {//        int v = tree[s][i];//        if(v == fa) continue;//        dfs(v,s);//    }//}////int main()//{//    int n;//    cin>>n;//    cnt = 0;//    memset(pre,-1,sizeof(pre));//    for(int i=1;i<n;i++)//    {//        int a,b;//        cin>>a>>b;//        add_edge(a, b);//        add_edge(b, a);//    }//    int m;//    cin>>m;//    int save[100];//    for(int i=0;i<m;i++) scanf("%d",save+i);//    lca.lca_init(n);//    int root = vsort(save, m);//    if(root != -1)//    {//        dfs(root,-1);//    }//    return 0;//}/* 1 326547 6 7 5*/

阅读全文

0 0