1 方程组的几何解释

本系列是为了重新学习理解线性代数听麻省理工公开课：线性代数所做的笔记.

1 二元方程组

考虑方程组

{2x−y=0−x+2y=3

写出方程的矩阵形式如下

[2−1−12][xy]=[03]

也就是

Ax=b

• 第一种理解方式, row picture, 从行来看
  把两个方程看作两条直线,方程的解就是两条直线的交点.
• 第二种理解方式, column picture, 从列来看
  把上面的式子也可以写成
  
  x[2−1]+y[−12]=[03]

这就是线性代数中非常重要的一种思想, 把方程组的解看作矩阵A的列向量的线性组合(linear combination)

在二维坐标系下,很容易画出来向量

V1=[2−1],V2=[−12]

求方程的解也就是求 V1和V2 的组合怎样才能合成向量

V3=[03]

2 三元方程组

与二维方程组类似,

• 按照row picture理解, 就是三个平面的交点.
• 按照column picture理解,就是三个三维向量的线性组合.

3 推广到N元

row picture 的理解方式不适合理解高维问题, 但是column picture适合理解高维问题, 因为无论对于维度是多少,方程的解都可以看作是矩阵A列向量的线性组合.

由此我们可以这样理解方程Ax=b是否有解的问题.

如果A列向量的线性组合可以填满A所有的维度空间时, 无论b是多少,方程总是有解的.

4 方程Ax=b的另一种理解

我们不把它看作

Matrix∗Vector=Vector

而是把A看作一个线性算子, x是一组未知数, 线性算子对x操作然后得到已知量b
如下图