homology的几何解释

Homology的几何解释

（未完待续）

   以前不知道Homology的几何解释，只知道中文译名叫同调。网上未找到详细答案，翻看了好几本射影几何书也没有答案。现在终于找到了: 在Liugi Cremona 的“Elements of  Projective Geometry”书上。有整整的2章（３到４章）共23节（18到41节）都讨论Homology，包括平面的Homology与空间的Homology，阅读它们有些麻烦，缺少插图，还要利用到前面第2章的一些结果。下面我将它翻译出来，增加一些插图，并重新组织。

　　同调的定义见下，它是同一平面π上2个图形之间的一种关系，但其定义要牵涉到另一平面π'上的一个图形：

    【定义】平面π上两个图形F₁与F₂称为同调的，如果它们都是另一平面π'上的同一个图形F的透视投影，这2个透视投影的透视中心S₁与S₂在π,π'外。

　　如下图,位于下面左下方稍有倾斜的平面π'上的一个三角形，以S₁与S₂为透视中心，将它投影到后一平面π上所得到的两个三角形就是同调的图形。

图１定义平面π上两个图形同调要用到另个平面π'的一个图形

　　同调的图形有下列性质：

    【定理1】同调对应图形是射影对应的图形。

　　【证】因F₁与F为相互透视的图形，F与F₂为相互透视的图形，所以根据任意次的透视对应为射影对应的定义，F1与F2为相互射影对应的图形。　　

　　【定理2】同调图形的任意对应边（延长后）必相交于两个平面π,π'的交线上；

　　【证】证明方法和Desargues定理的证明方法相同，可证F₁与F的任何对应边交在π,π'平面的交线上一点，同样F2与F的任何对应边也的任何边也交在π,π'平面的交线上一点，所以F1与F2的任何对应边交在π,π'平面的交线上同一点。

　　【定理3】同调对应图形是相互透视对应的图形。　

　　【证】这是因为，。

　　这一定理极其深刻的反映了同调图形的性质，或许正因为有此性质，人们就把同调理解为就是透视。

　

该书包含的各章内容为：

Central Projection - Figures In Perspective - 

Homology - Homological Figures In Space - 

Geometric Forms - The Principle Of Duality -

Projective Geometric Forms - Harmonic Forms - 

Anharmonic Ratios - Construction Of Projective Forms - 

Particular Cases And Exercises - Involution - 

Projective Forms In Relation To The Circle - Projective Forms In Relation To The Conic Sections - 

Constructions And Exercises - Deductions From The Theorems Of Pascal And Brianchon -

 Desargue's Theorem - Self Corresponding Elements And Double Elements - 

Problems Of The Second Degree - Pole And Polar - 

The Center And Diameter Of The Conic - Polar Reciprocal Figures - 

Foci - Corollaries And Constructions