AHOI 2005 洗牌

问题描述

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。 由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。 对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。 如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：

从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

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输入格式

有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N为偶数）。

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输出格式

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

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样例输入

6 2 3

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样例输出

6

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题目很大一堆，简化下来其实就一句话：

• 给定一个偶数n，进行m次题目描述操作，问操作后左边第l位是多少

最开始的想法是找规律，规律也找出来了。代码如下：

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int n,m,l;    cin>>n>>m>>l;    int now;    int p=1;    if(l%2==0)now=l/2;    else now=(l+1)/2+n/2;    while(l!=now)    {        if(now%2==0)now/=2;        else now=(now+1)/2+n/2;        p++;    }    m%=p;    while(m--)    {        if(now%2==0)now/=2;        else now=(now+1)/2+n/2;    }    cout<<now;}

本以为开开心心可以过了，结果发现了这种情况

万万没想到100分的题多了一个测试点11，然后T得很惨。心中暗暗叫一声大意了，这才想起去看数据范围，不禁虎躯一震：

• 0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10

确实，跑O（M）的算法也是作死
所以说，现在怎么搞？
蒟蒻的我花了许久时间脑海中闪过一个非常厉害的算法——快速幂
然后开始推推推推推推推推推算
最终得到了这样一个规律：

• x*2^m==l (mod n+1)

很多人就要问了！你是怎么推出来的！
实话实说我没有证明这个式子只是发现了一些规律而已。最开始留意到了每位数的变化与2^i有关系，然后你在随便搞一下，mod n+1其实也很好看出来。
求一个逆元，最终得到的式子是这样的：

• x=(n/2+1)^m*l mod n+1

快速幂搞一下即可，当然我加了一下快速乘法！
附上拙劣代码！

#include<iostream>#define ll long long ll n,m,l;using namespace std;ll mod;ll ksm(ll a,ll b){    ll ans=0;    while(b)    {        //cout<<a<<b<<endl;        if(b&1)        {            ans+=a;            ans%=mod;        }        a*=2;a%=mod;b>>=1;    }    return ans;}ll ksc(ll a,ll b){    ll ans=1;    while(b)    {        if(b&1)ans=ksm(ans,a);        a=ksm(a,a);        b>>=1;    }    return ans;}int main(){    cin>>n>>m>>l;    mod=n+1;    cout<<ksm(ksc(n/2+1,m),l)%mod;}