相机透视知识整理

相机实现了3维世界至2维平面的映射，理顺其中的关系方便实现一些有趣的应用。
这其中涉及道三个坐标系的变换关系： 世界坐标系—相机坐标系—-图像坐标系

1、相机坐标系–图像坐标系

1.1 世界坐标系与相机坐标系

两坐标系的变换可用齐次矩阵表示如下：

其中，R为3x3单位正交矩阵

1.2 R矩阵

• 上述3个基本变换矩阵均为单位矩阵，因此求逆即求转制
  R−1=RT

如果两坐标系同原点，，t为平移向量，即t=0,则可表示为：

⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=R⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥

1.2 图像坐标系

图像坐标系可以表示为u-v坐标系，该坐标系单位为像素，无量纲。
为了便于分析，常常建立以X-Y表示的图像坐标系，它以毫米为单位。它的原点O1在U-V坐标系中的坐标为（u0,v0）。每一个像素在X轴和Y轴上的物理尺寸分别为dX,dY,则两坐标系的变化关系为：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪u=XdX+u0v=YdY+u0

u0,v0默认在图像中心点，因为工艺会有偏差。齐次坐标的矩阵表示形式如下：

公式1

1.3 相机坐标系

如上图根据小孔成像原理，在相机坐标系x−o−y中的任意一点P(x,y,z)在图像坐标X−O1−Y下的成像点为p(X,Y),相机焦距设为f.根据比例准则：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪X=fxzY=fyz

改写为齐次坐标表示的形式：

其中，S为尺度因子，与纵向距离Z有关，P为透视矩阵。

1.4 变换

根据以上公式联立，可形成世界坐标与像素图像坐标的最终变换关系：

αx=f/dX、αy=f/dY :归一化焦距。
M1称为内参矩阵，M2为外参矩阵。

当t=0，上述公式可简化：

s⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢αx000αy0u0v01⎤⎦⎥R⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥=M⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　公式2
M为3x3矩阵，该矩阵可逆，当知道世界坐标下的一点，可算出唯一的像素坐标。但是，已知图像上一点，无法确切知道空间上Z的坐标，因为，上述矩阵只能联立两个方程。

2 灭点及消失点

将公式２的结果展开：

通常情况下，可通过４世界和图像之间点对，估算Ｍ矩阵值。
消失点只于变换矩阵Ｍ和平行直线簇的方向有关。

2 逆透视

坐标定义如图所示：

俯仰角pitch α ， 偏航角yaw β ，滚动roll is zero

根据如上图坐标定义方式推导两者间的变换关系：XcYcZc→XwYwZw
利用坐标轴连续旋转的方式：

其中注意β逆时针转,角度为正;α顺时针,取负.

展开可得：

sPw=Rx(−90)Ry(β)Rx(−α)⎡⎣⎢fu000fv0cucv0⎤⎦⎥−1⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=TgPi

其中，