BZOJ 2618: [Cqoi2006]凸多边形（半平面交）

2618: [Cqoi2006]凸多边形

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Description

逆时针给出n个凸多边形的顶点坐标，求它们交的面积。例如n=2时，两个凸多边形如下图：

则相交部分的面积为5.233。

Input

第一行有一个整数n，表示凸多边形的个数，以下依次描述各个多边形。第i个多边形的第一行包含一个整数m_i，表示多边形的边数，以下m_i行每行两个整数，逆时针给出各个顶点的坐标。

 

Output

    输出文件仅包含一个实数，表示相交部分的面积，保留三位小数。

 

Sample Input

2
6
-2 0
-1 -2
1 -2
2 0
1 2
-1 2
4
0 -3
1 -1
2 2
-1 0

Sample Output

5.233

HINT

100%的数据满足：2<=n<=10，3<=m_i<=50，每维坐标为[-1000,1000]内的整数

Source

一直想学的一个计算几何，放到了现在。。。（然而POJ 上有几道半平面交的好题，但是POJ 却崩了）

什么是半平面交？

顾名思义，半平面就是指平面的一半（废话），记得大一下学期学过平面和直线的方程式，其中

直线的一般方程为  ax + by + c = 0，那么两个半平面则可以表示为ax + by + c >= 0 和ax + by + c < 0，

这就是半平面的表示方法。

然而什么是半平面交呢？  其实就是若干个方程组，我们高中学过直线相交的可行域（线性规划中的知识）。。

其实就是这么一个东西。这若干个方程组其实就是上述的若干个不等式。半平面交虽然说是半平面的问题，但它其实就是关于直线的问题。一个一个的半平面其实就是一个一个有方向的直线而已。

如图所示：

                                              

较容易考的有：多边形的核（不懂的自行百度）、本题的相交面积等。

这里采用双端队列的nlogn算法。

#include <math.h>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const double eps = 1e-8;const double PI = acos(-1.0);int sgn(double x){    if(fabs(x) < eps) return 0;    if(x < 0) return -1;    else return 1;}struct Point{    double x,y;    Point(){}    Point(double _x,double _y)    {        x = _x; y = _y;    }    Point operator -(const Point &b)const    {        return Point(x - b.x, y - b.y);    }    double operator ^(const Point &b)const    {        return x*b.y - y*b.x;    }    double operator *(const Point &b)const    {        return x*b.x + y*b.y;    }};struct Line{    Point s,e;    double k;    Line(){}    Line(Point _s,Point _e)    {        s = _s; e = _e;        k = atan2(e.y - s.y,e.x - s.x);    }    Point operator &(const Line &b)const    {        Point res = s;        double t = ((s - b.s)^(b.s - b.e))/((s - e)^(b.s - b.e));        res.x += (e.x - s.x)*t;        res.y += (e.y - s.y)*t;        return res;    }};//半平面交，直线的左边代表有效区域bool HPIcmp(Line a,Line b){    if(fabs(a.k - b.k) > eps)return a.k < b.k;    return ((a.s - b.s)^(b.e - b.s)) < 0;}Line Q[1010];void HPI(Line line[], int n, Point res[], int &resn){    int tot = n;    sort(line,line+n,HPIcmp);    tot = 1;    for(int i = 1;i < n;i++)        if(fabs(line[i].k - line[i-1].k) > eps)            line[tot++] = line[i];    int head = 0, tail = 1;    Q[0] = line[0];    Q[1] = line[1];    resn = 0;    for(int i = 2; i < tot; i++)    {        if(fabs((Q[tail].e-Q[tail].s)^(Q[tail-1].e-Q[tail-1].s)) < eps || fabs((Q[head].e-Q[head].s)^(Q[head+1].e-Q[head+1].s)) < eps)            return;        while(head < tail && (((Q[tail]&Q[tail-1]) - line[i].s)^(line[i].e-line[i].s)) > eps)            tail--;        while(head < tail && (((Q[head]&Q[head+1]) - line[i].s)^(line[i].e-line[i].s)) > eps)            head++;        Q[++tail] = line[i];    }    while(head < tail && (((Q[tail]&Q[tail-1]) - Q[head].s)^(Q[head].e-Q[head].s)) > eps)        tail--;    while(head < tail && (((Q[head]&Q[head-1]) - Q[tail].s)^(Q[tail].e-Q[tail].e)) > eps)        head++;    if(tail <= head + 1)return;    for(int i = head; i < tail; i++)        res[resn++] = Q[i]&Q[i+1];    if(head < tail - 1)        res[resn++] = Q[head]&Q[tail];}Point p[1010];Line line[1010];//*两点间距离double dist(Point a,Point b){    return sqrt((a-b)*(a-b));}int main(void){    int nn,m;    while(scanf("%d",&nn)!=EOF)    {int n=0;for(int j=0;j<nn;j++){scanf("%d",&m);for(int i = 0;i < m;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);p[m]=p[0];for(int i=0;i<m;i++)line[n].s=p[i],line[n++].e=p[i+1];}        for(int i = 0;i < n;i++)line[i].k = atan2(line[i].e.y-line[i].s.y,line[i].e.x-line[i].s.x);        int resn;        HPI(line,n,p,resn);double ans=0;p[resn]=p[0];for(int i=0;i<resn;i++)ans+=(p[i]^p[i+1]);printf("%.3f\n",ans/2.0);    }    return 0;}/*26-2 0-1 -21 -22 01 2-1 24   0 -31 -12 2-1 0*/