深蓝的大修&现代化改装（二）：树状数组

又是一个平常的下午。送走了深蓝，Ration在机房里，用着没有生命的另一台机器，静静地打着题。

这种感觉很奇妙，深蓝出现之前，他也是用这样的没有生命的机器，也是充满激情地打着题。然而，深蓝走进了他的生活，又静静离去。尽管只有几天，却让Ration度日如年。

他经常会突然走神，想想自己的深蓝，现在到哪了，在干什么，有没有别的机器欺负她……思绪飘出去，又回来，重新回到题目上。

“zzzzzzzzzzzzzzzzzz……”

“嗯？”

“zzzzzzz……Hi！主人！我快到北京了，这里一切都好，你那边怎么样？”

熟悉的声音传入大脑。

“深蓝！！！！！”Ration一下子激动起来。“好几个小时没看见你了，splay会用了么？”

深蓝：恩，挺好使的。

Ration：那就好。话说你这一路上有很多站吧？

深蓝：恩OVO。

Ration：突然很想知道，你这一路上某两站之间的路程。然而懒得写线段树了怎么办……

深蓝：那自然就是树状数组了。

Ration：这是啥？

深蓝：简单来说，树状数组就是一种用来修改区间或求区间和的东西。每个节点保存一段区间的和。如果你暴力M次修改长度为N的区间，那就是O(M*N)，然而，如果你用了树状数组，就是O(M*lgN）。别小看这个lg，数一大了就很厉害了。

Ration：这怕就是线段树。

深蓝：不是啦~树状数组是从下到上，线段树是从上到下，它们有本质的区别呢~

           看图。

           

这里，c数组就是一个树状数组。或许你能看出来，设c[x]，

1、x为奇数时，c[x]=a[x]；

2、x为2的整数次幂时，c[x]=sum[1..x]

3、x为“不为2的整数次幂”的偶数时，c[x]=sum[x-lowbit(x)+1..x]

就是这样。

Ration：lowbit(x)？

深蓝：实际上，lowbit(x)就是把x所有末尾的0拿出来，前面塞上一个1，这个数转化为十进制，就是lowbit(x)。

Ration：那怎么求呢？

深蓝：lowbit(x)=x&-x

Ration：这是为什么？

深蓝：EMMMMMM……怎么说呢……主人你知道二进制表达么？

Ration：不然呢？否则我坐在机房里干什么？

深蓝：那就好。对于每一个偶数，在二进制里，末尾都至少有一个0，对吧？

Ration：恩。

深蓝：int x=-1，实际上，在我内部会表示为11111111 11111111 11111111 11111111,1就是00000000 00000000 00000000 00000001。这就是为什么正整数只能存2^(占用内存大小（4字节）*8-1)-1的大小，最大是2147483647，就是2^31-1，再+1就成了-1了。

Ration：为啥-1不是10000000 00000000 00000000 00000001呢？

深蓝：笨主人~对于有符号的整数，第一位0：正数；第一位1：负数。（当然无符号的最大就是2^31——2147483648啦~）

Ration：-1除去第一位的1，貌似都是0啊，所以说为什么是-1而不是0呢？

深蓝：你加一试试。10000000 00000000 00000000 00000001对吧，那如果是-0的话，不就成-1了么OVO，所以说，为了避免这个矛盾，所以说10000000 00000000 00000000 00000000就成了-2^31,

Ration：然而这个和lowbit(x)=x&-x有啥关系？

深蓝：你对这那两张图看看，是不是情况2中的x，lowbit(x)=x(因为只会有一个“1”)；比如说10&-10,00000000 00000000 00000000 00001010&11111111 11111111 11111111 11110110=10=2，是不是两位？

Ration：哦……那怎么建立树状数组呢？

深蓝：对于每一个数都做如下的操作——单点修改

void add(int k,int num)

{

     while(k<=n)

         {

              tree[k]+=num;

              k+=k&-k;

         }

}

这个操作就是“把包含第K位的树状数组节点加上m”，那么，建立树状数组的时候，就for(i=1;i<=n;i++){add(i,num)}，就好了。

记住一个关键的东西：k&-k，几乎所有的转移都是通过这个实现的，相当于“步长”。实际上，”步子“会越来越大，因为k越来越大。

Ration：明白啦宝贝~

深蓝：好了我到了，要下车了，等我都安顿好了再聊吧~（吻）那，拜拜啦~

Ration：OK

联络结束了，Ration呆坐在那里，眼前仿佛是闭上眼睛的深蓝。