树形DP<小小结>

什么是树形DP

dcx2001 说，就是树上的DP。状态表示与转移都与树有关，树构成了DP的框架。

怎么实现

一般的树形DP都是逆着 dfs 的过程，用孩子更新父亲。一般都用递归的形式完成。如果知道了 dfs 序，也可以直接逆着 dfs 序来DP。只要能达到目的，想怎么DP就怎么DP啦。

状态一般表示为 f[u][i]，其中 u 表示当前计算的节点标号，i 就因题而异了，f[u][i] 表示的不是 u 一个节点的状态，而是 u 的子树的状态。一般都要求出子树的大小，即子树内有几个节点，记作 size[u] 。用到什么就求什么呗。

特殊性质？

树是一个无环连通图，因此 dfs 时不会死循环。树自然分层，DP转移的阶段也就自然有了。就好像分治一样，树形DP的关键在于合并，把 u 的各个孩子 v 的信息合并成自己的。

树形DP十分灵活，它可以和多种算法结合，可以状压，可以背包， 因此做题时思路不能受到限制。

题的类型？

1.点的计数

一般就是简单的求个 size[]，在 size[] 上乱搞，可能细节较多。

比如

1.【洛谷2211】最大子树和，题意是给你一个树，每个点都有点权（可以为负），求出最大的连通的一部分使得点权和最大。基本上就是在求 size[] 时变成

size[u]+=max(size[v],0)

时刻更新答案就行了。

2.Garland 给你一棵树，把它分成点权相等的三部分，若不能，输出”No”，否则输出”Yes”，并输出任意一种可行方案。基本思路是先求出所有点权和 all，如果 size[u]=all/3，那么记录 u 作为方案。有一些细节，具体可看题解。

2.用最少的费用覆盖所有的点

给你一个树，每个点都有费用，你选了这个点后，他可以覆盖住到他的路径长度不超过 1（或2） 的点，求出覆盖所有点的最小费用。

比如保安站岗:这道题是覆盖的路径长度不超过1。这种题的一般套路：状态 f[u][0] 表示选 u，f[u][1] 表示不选 u 但选 u 的孩子，f[u][2] 表示不选 u 和孩子但选 u 的父亲。状态转移方程：

f[u][0]=∑v是u的孩子(min(f[v][0],f[v][1],f[v][2]))

f[u][1]=∑v是u的孩子(min(f[v][0],f[v][1]))如果所有的f[v][1]都小于对应的f[v][0]，就选一个f[v][0]使得(f[v][0]−f[v][1])最小

f[u][2]=∑v是u的孩子(f[v][1])

具体可看这个题解。

3.与叶子节点有关

问题主要与叶子节点有关，这很可以体现树形DP的灵活。

1.背包 有线电视网：一个电视网的电线网络是树形的，总部在根节点，叶子节点是顾客，而其他节点是信号的中转站，每个顾客有一定数的钱，而每一条边都有边权，代表电视网要通这条边所需要的费用，只有顾客的位置与根连通了，他才会把钱给电视网。求电视网在不亏本（即顾客给的钱-通电线所需要的费用≥0）的情况下最多能使多少顾客看上电视。

设 f[u][i] 表示 u 的子树内选 i 个客户时最多挣多少钱。

f[u][i]=maxj=1sizev(f[u][i−j]+f[v][j]−wu,v)

具体就看看题解吧。

2.状压DP 树有几多愁：给你一个 n(n≤100000) 个点树，让你给树上的每一个点从1到n标点权，一个叶子节点的愁等于叶子节点到根的路径上（包括叶子节点和根）的最小点权，一个树的愁等于树中所有叶子节点的愁的乘积。求这个树的最大愁，保证叶子节点树≤20。

看到20，是否想到状压DP？设 f[s] 表示选了 s 状态的叶子节点时的最大愁，那么

f[s]=maxs中选了第i个叶子节点(f[(s)xor(1<<i)]∗now)

now 是下一个叶子节点的标号，可以用树形DP求出。具体就看题解吧，这道题真的很好，还用到虚数哦！

3.博弈论 树上的博弈：一棵树，叶子节点上有从1开始标的标号，刚开始的时候根部有一个棋子。两个玩家轮流移动棋子，每一步都会将这个棋子向他的某一个孩子移动；如果玩家不能再移动棋子了，那么游戏结束。游戏的结果就是棋子所在叶子上面的数字。游戏的先手想要这个数字最大化，而后手想要这个数字最小化。游戏进行时，两个人知道树的情况。你现在设计叶子节点的标号，若你与先手目的相同，那么游戏的结果是什么？若你后手联合，那么游戏的结果是什么？

此题难想的地方是当不同人移动棋子时，状态表示的含义是不同的。具体可看题解。

4.统计方案数

就是在树上的统计问题。

比如幸运树：一个树，有边权，若边权的十进制表示只有4和7组成，那么这一条边是幸运边。三元组 ( i , j , k ) 表示 i 到 j 和 i 到 k 的路径上都至少有一条幸运边，求 ( i , j , k )的个数。

主要问题是如何分类。令 f[u] 为在 u 的子树内，到 u 的路径中有幸运边的点有几个，令 g[u] 为在 u 的子树外，到 u 的路径中有幸运边的点有几个。那么

ans=∑u=1n(f[u]∗(f[u]−1)+g[u]∗(g[u]−1)+f[u]∗g[u]∗2)

f[u] 和 g[u] 怎么求，就看题解吧。

5.最大独立集

给定一个树，选出尽量多的点，使任何两个节点均不相邻。

设 f[u][0] 表示在 u 的子树内，不选 u 时最多能选多少点；f[u][1] 选 u 时最多能选多少点。

f[u][0]=∑v是u的孩子(max(f[v][0],f[v][1]))

f[u][1]=1+∑v是u的孩子(f[v][0])

比如Party at Hail-Bula：基本上就是点的最大独立集裸题，只不过还判断选点最多的方案是否唯一。具体看题解吧，膜拜汝佳大佬哦：）。

6.其它

大模拟 风铃：风铃。。模拟。。大风铃。。大模拟。。。这道题，我，模拟的无言以对。自己看题吧，同样发下我的题解，只是这道题我写的比较墨迹，但思路清晰啊。

还有，还有，像树的重心啊，树的最长路径啊，balabala，我都不写了，写到现在的我感觉身体好像被掏空。那就这样愉快的结束吧。多做些题，就都知道了。：）