bzoj1426 收集邮票

Description
有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input
一行,一个数字N(N<=10000)

Output
要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input
3

Sample Output
21.25

HINT

Source

思路
令gi表示前i种邮票都获得后还需要多少张邮票才能凑齐n种，那么需要：

gi=in∗gi+n−in∗gi+1+1

化简：

gi−in∗gi=n−in∗gi+1+1

n−in∗gi=n−in∗gi+1+1

gi=gi+1+nn−i

但是这个有什么用呢？先不管，设fi表示前i种邮票都获得后还需要付多少元钱才能集齐n种邮票，那么：

fi=in∗(fi+gi)+n−in∗(fi+1+gi+1)+1

理由？由于是从后往前推f和g数组，设当前需要付的价格为1元，而后面付的所有价格加1元，这样做不影响结果。而后面付的所有价格需要加1，所以需要求g数组。
那么将这个式子化简，得：

fi=in∗fi+in∗gi+n−in∗(fi+1+gi+1)+1

fi−in∗fi=in∗gi+n−in∗(fi+1+gi+1)+1

n−in∗fi=in∗gi+n−in∗(fi+1+gi+1)+1

fi=in−i∗gi+fi+1+gi+1+nn−i

最终输出f0即可。
最后吐槽一句：代码量真少，思维量真多啊。

代码

#include <cstdio>const int maxn=10000;double f[maxn+10],g[maxn+10];int n;int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=n-1; i>=0; i--)    {        g[i]=g[i+1]+(double)n/(n-i);        //求g数组的值    }    for(int i=n-1; i>=0; i--)    {        f[i]=g[i]*i/(n-i)+f[i+1]+g[i+1]+(double)n/(n-i);        //求f数组的值    }    printf("%.2lf\n",f[0]);    return 0;}