概率DP 收集邮票

问题 H: 收集邮票
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题目描述
有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。
输入
一行,一个数字N N<=10000
输出
要付出多少钱. 保留二位小数
样例输入
3
样例输出
21.25

思维题。
看网上题解有的长篇大论证了一堆，实际上并没有必要。
设f[i]为买到了i种邮票，期望买完还要花的钱,g[i]表示当前买到了i种邮票，期望买完还要买的邮票数
g[i]=g[i+1]*(n-i)/n+g[i]*i/n+1
就是从g[i]买一张有(n-i)/n的概率转移到g[i+1],i/n的概率转移到自己。用逆推的思路考虑，就是这个式子了。再化简一下。
f[i]=(g[i+1]+f[i+1])*(n-i)/n+(g[i]+f[i])*i/n+1
转移思路同理。因为是逆推考虑的，假设最后买的邮票是1元，推回去的过程中，先假设当前的邮票是1元，并且知道之后期望买的邮票数，也就是g，就可以算出当前邮票的价格了。

#include <cstdio>#define d double#define N 10006int n;d f[N],g[N];int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=n-1;i>=0;i--)g[i]=g[i+1]+1.0*n/(n-i);    for(int i=n-1;i>=0;i--)f[i]=f[i+1]+g[i+1]+1.0*i/(n-i)*g[i]+1.0*n/(n-i);    printf("%.2lf\n",f[0]);}