Fibonacci求解第n项(矩阵法)

1、递归法，时间复杂度：O(n*n);

2、普通循环算法：时间复杂度：O(n)；

3、矩阵法：时间复杂度：O(logn);

前2个方法，都比较简单，刷题时候用过了，但是这次刷题，属于Fibonacci加强版，对时间性能很有要求，使用1或者2方法一直ac不了，所以看了矩阵求解方法。这个方法看了一个下午才明白，所以一定要记录的。

3.1、先看一下矩阵法的推导过程，也就是如何把一个Fibonacci求解转为对矩阵的求解过程。

3.2、牛客网原题如下：

题目描述

对于斐波拉契经典问题，我们都非常熟悉，通过递推公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，我们可以在线性时间内求出第n项F(n)，现在考虑斐波拉契的加强版，我们要求的项数n的范围为int范围内的非负整数，请设计一个高效算法，计算第n项F(n-1)。第一个斐波拉契数为F(0) = 1。

给定一个非负整数，请返回斐波拉契数列的第n项，为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。

3.3、以下为矩阵法的code：已ac

package schooloffer;import java.util.Arrays;/** * Created by caoxiaohong on 17/9/25. * 对于斐波纳契经典问题，我们都非常熟悉，通过递推公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，我们可以在线性时间内求出第n项F(n)，现在考虑斐波拉契的  * 加强版,我们要求的项数n的范围为int范围内的非负整数，请设计一个高效算法，计算第n项F(n-1)。第一个斐波拉契数为F(0) = 1。 * 算法关键:矩阵快速幂. */public class Fibonacci2 {    public int getNthNumber(int n) {        // write code here        long[][] base=new long[2][2];        base[0][0]=1;        base[0][1]=1;        base[1][0]=1;        base[1][1]=0;        //求矩阵matrix的(n-1)次方;        long[][] ret={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵E        if(n==0 || n==1)            return 1;        int exp=n-1;        long[][] tmp;        while (exp>0){            if((exp&1)>0){                //ret*base                tmp=new long[2][2];                for(int i=0;i<2;i++){                    for(int j=0;j<2;j++){                        for(int k=0;k<2;k++){                            tmp[i][j]+=ret[i][k]*base[k][j];//注意这里的code                            if(tmp[i][j]>=1000000007)                                tmp[i][j]%=1000000007;                        }                    }                }                ret=Arrays.copyOf(tmp,tmp.length);//ret改值            }            //base*base            tmp=new long[2][2];            for(int i=0;i<2;i++){                for(int j=0;j<2;j++){                    for(int k=0;k<2;k++){                        tmp[i][j]+=base[i][k]*base[k][j];//注意这里的code                        if(tmp[i][j]>=1000000007)                            tmp[i][j]%=1000000007;                    }                }            }            base=Arrays.copyOf(tmp,tmp.length);//ret改值            //exp右移一位            exp=exp>>1;        }        //最后:ret第一行和两行一列矩阵[1,1]进行相乘,得到一个整数,即为所求.所以可以简化为将ret第一行数字进行相加即为所求        return (int)(ret[0][0]+ret[0][1])%1000000007;    }    //test code    public static void main(String[] args) {        Fibonacci2 t=new Fibonacci2();        System.out.println(t.getNthNumber(12));    }}