第八周训练总结（一）

        这周开始新的内容了，我选的是数论的内容。

        数论的部分内容在专业课学习过，原以为理解起来会比较容易，还是自己想的太简单，学的知识还是太浅。比如整除的规律这部分，之前只学习过被0、1、2、3、5整除的情况，这次的课件上扩展到了两位数甚至三位数，看完之后一时还接受不了，然后经常打开手机看看，才记了差不多。到后面的模线性方程，也被卡住了，慢慢地了解了它的解题步骤：

（1）求 d=gcd（a,m）

（2）若d不是b的因数，则ax≡b(mod m)无解，结束；否则转（3）

（3）求x0,y0,是a*x0+m*y0=d;

（4）由于d是b的因数，将a*x0+m*y0=d改写，得a(x0*(b/d))+m*(y0*(b/d))=b, 

     于是ax+my=b的一个特解为 x=x0*(b/d),y=y0*(b/d);

（5）x0*(b/d)是ax≡（mod m）的一个特解，由此的ax≡b(mod m)的所有解

后面可以再扩展到模线性方程组，最典型的例子就是韩信点兵：为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程： 
x mod 3 = 2 
x mod 5 = 4 
x mod 7 = 6

将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i] ，这就是模线性方程组。

可以先从n=2开始递推： 
已知：

x mod m[1] = r[1] x mod m[2] = r[2]

根据这两个式子，存在两个整数k[1],k[2]：

x = m[1] * k[1] + r[1] x = m[2] * k[2] + r[2]

由于两个值相等，因此有：

m[1] * k[1] + r[1] = m[2] * k[2] + r[2] => m[1] * k[1] - m[2] * k[2] = r[2] - r[1]

由于m[1],m[2],r[1],r[2]都是常数，若令A=m[1],B=m[2],C=r[2]-r[1],x=k[1],y=k[2]，则上式变为：Ax + By = C。 
这就转换成扩展的欧几里得算法。

没想到看数论的课件看的这么慢，很多东西看之前想的很容易，以为自己接触过，很容易就接受，看完后才知道自己多么无知，学到的都是皮毛。现在真的开始觉得ACM的学习也可以促进专业课的学习和理解，自己开始想看了，不是被动的去看。