LuoguP1962 斐波那契数列 解题报告【矩阵快速幂】

题目背景
大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：
• f(1) = 1
• f(2) = 1
• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)
题目描述
请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。
输入输出格式
输入格式：
·第 1 行：一个整数 n
输出格式：
第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值
输入输出样例
输入样例#1：
5
输出样例#1：
5
输入样例#2：
10
输出样例#2：
55
说明
对于 60% 的数据： n ≤ 92
对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。
解题报告
我们一看数据范围，n在long long范围内，看来就只能用矩阵快速幂了。
怎么用矩阵快速幂呢？
我们知道，f[n]=f[n−1]∗1+f[n−2]∗1，f]n−1]=f[n−1]∗1+f[n−2]∗0。那么根据矩阵乘法的性质，就有：


（转自这篇博客）
又因为f[1]=f[2]=1，所以我们不需要在意那个1*2的矩阵，直接算矩阵的^(n-1)就好了。
代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const int N=2,mod=1e9+7;struct mat{    ll c[N+5][N+5];};ll n;mat mat_mul(mat a,mat b){    mat ret;    memset(ret.c,0,sizeof(ret.c));    for(int i=1;i<=N;i++)    for(int j=1;j<=N;j++)    for(int k=1;k<=N;k++)    ret.c[i][j]=(ret.c[i][j]%mod+a.c[i][k]*b.c[k][j]%mod)%mod;    return ret;}ll mat_pow(){    mat base,ret;    n-=2;    memset(base.c,0,sizeof(base.c));    memset(ret.c,0,sizeof(ret.c));    base.c[1][2]=1,base.c[2][1]=1,base.c[1][1]=1;    base.c[2][2]=0;    ret.c[1][2]=1,ret.c[2][1]=1,ret.c[1][1]=1;    ret.c[2][2]=0;    for(ret;n;n>>=1,base=mat_mul(base,base))if(n&1)ret=mat_mul(ret,base);    return ret.c[1][1];}int main(){    scanf("%lld",&n);    if(n==0){printf("0");return 0;}    if(n==1||n==2){printf("1");return 0;}    printf("%lld\n",mat_pow());    return 0;}