BZOJ 1856 [Scoi2010]字符串

先mark一下别人博客：

卡特兰数的推导（用01序列推导的，过于抽象）：
http://blog.csdn.net/youwuwei2012/article/details/38904839
（好像还有严格证明，只不过看不懂QAQ）

然后以这种推导的思路进行更易于理解的证明：

referring to:
http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3443689.html
http://blog.csdn.net/wzq_qwq/article/details/48706151

（图源：wzq_QwQ，图为推广的模型）
对于卡特兰数的基础模型，进栈和出栈的次数相等且为一定值2n，其中进栈次数为n且在任意时刻进栈次数不小于出栈次数。考虑一个坐标轴的模型，记每一次操作为右移一格，出栈下移，进栈上移，于是纵坐标代表栈内元素个数y，且y恒为非负整数。根据卡特兰数的定义，从(0,0)开始移动，终止于(2n,0)点，由此操作数共有Cn2n，然而其中包含不合法的情况。曲线不能到达直线y=-1，现在考虑不合法的情况的个数，即将(0,0)沿直线y=-1对称，从(-2,0)到达(2n,0)的种数，共有Cn+12n。二者相减即为合法情况总数，公式为：h(n)=Cn2n−Cn+12n。

综上，卡特兰数的公式为：

h(n)=Cn2nn+1=Cn2n−Cn+12n

将证明推广，进栈元素设为m(m>=n)，于是同理可得推广后的卡特兰数公式：

h(n)=Cnn+m−Cn+1n+m

。

此题按此公式，拿逆元求一下就好了。一定不能写错exgcd!!!

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int mod=20100403;int n,m;int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(!b)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    int res=exgcd(b,a%b,x,y);    int temp=x;    x=y;    y=temp-y*(a/b);    return res;}int inverse(int a){    int x,y;    exgcd(a,mod,x,y);    return (x%mod+mod)%mod;}int C(int m,int n){    int res=1;    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)        res=1LL*res*i%mod;    for(int i=2;i<=m;i++)        res=1LL*res*inverse(i)%mod;    return res;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    cout<<((C(n,m+n)-C(n+1,m+n))%mod+mod)%mod;    return 0;}