3 乘法与逆矩阵

来源：互联网发布：得无异乎的异编辑：程序博客网时间：2024/05/29 18:58

本系列是为了重新学习理解线性代数听麻省理工公开课：线性代数所做的笔记.

参考链接

矩阵乘法wiki
MIT_线性代数笔记03乘法和逆矩阵

1 矩阵乘法

矩阵乘法 AB=C 的五种理解方式。其中

A m * n ， B n * p, C m * p

1.1 按照乘法的定义来理解

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + \dots + a i n b n j = \sum k = 1 n a i k b k j .

矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和

1.2 按照行、列、列乘以行来理解

以上三种理解方式参看 MIT_线性代数笔记03乘法和逆矩阵这篇博文。讲述的非常详细清楚，我再写就是多余了。。。。

用一句话概括来讲，就是C的列是A列的线性组合， C的行是A的行的线性组合。

Rows of matrix C is combination of rows of matrix A.
Columns of matrix C is combination of columns of matrix A.

2 逆矩阵

2.1 引出

如果矩阵A左乘Aleft或右乘一个矩阵Aright可以得到一个单位矩阵(Identity Matrix), 也就是满足下面的式子，我们称Aleft为A的左逆，称Aright为A的右逆。

A l e f t A = A A r i g h t = I

特别的，当A是方阵时，有

A - 1 = A l e f t = A r i g h t

此时不再区分左右逆，统称为A的逆，一般情况下我们都是阵对方阵研究的。下文不说明均指方阵.

2.2 求逆

在上一节2 矩阵消元的最后提到了矩阵消元的本质就是初等矩阵变换
试想现在有一个增广矩阵(A|I)，我们对它进行消元，使得左边的普通方阵A变成单位矩阵I, 那么对应的I也就应该变成A−1

(A | I) \to (I | A - 1) .

这个消元求逆的方法就叫做Gauss-Jordan 消元法

简单推导如下

这是因为利用行变换消元就相当于矩阵左乘一个初等矩阵。

(1) 对矩阵A的行变换消元有下式成立

$E n . . . E 2 E 1 A = I, 且 A - 1 A = I$ ,
(2) 所以
$A - 1 = E n . . . E 2 E 1$
(3) 所以对矩阵I的行变换消元有下式成立
$E n . . . E 2 E 1 I = (E n . . . E 2 E 1) I = A - 1 I = A - 1$

2.3 逆矩阵存在的条件

2.3.1 从消元的角度理解

试想我们最终通过消元可将一个方阵变成单位矩阵，也就是只有主对角线位置为1，其他位置都是0的矩阵。

如果A有全0行或者全0列，那么无论怎么消元(初等变换)都不能在那个0行或者0列的矩阵对角线位置出现1.

这种方阵的行列式为0，记为det(A)=0，此时方阵A没有逆矩阵。

2.3.2 从方程Ax=0的角度理解

find a vector x with Ax=0, x is not zero vector, then A−1 is not existed.

如果存在一个非零向量x满足上式，那么A−1 是不存在的。反之A−1 存在

反证法如下

(1) 假设存在一个非零向量x满足上式
(2) 在方程Ax=0两侧左乘A−1有

$A - 1 A x = A - 1 * 0 = 0$
也就是
$x = 0$
(3) 显然是错误的，所以这样的非零向量x不存在

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