矩阵构造方法与矩阵乘法

  矩阵乘法（百度百科）

 矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（ n )，还可以求路径方案等，所以更是是一种应用性极强的算法。矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。

基本定义

　　它是这样定义的，只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×n的矩阵a（m,n)左乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会得到一个m×p的矩阵c（m,p)，满足

　矩阵乘法满足结合率，但不满足交换率

   一般的矩乘要结合快速幂才有效果``

矩阵构造方法

此部分转载于： http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2013/05/19/3087648.html

Fibonacci数列：F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)

我们以前快速求Fibonacci数列第n项的方法是 构造常系数矩阵

Fibonacci数列：F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)

我们以前快速求Fibonacci数列第n项的方法是 构造常系数矩阵

（一）   Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项快速求法（不考虑高精度）

解法：

考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据Fibonacci数列的递推关系，我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【f[n1],f[n]】。

即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易构造出这个2×2矩阵A，即：
                    ０ １ 
                    １ １

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】又因为矩阵乘法满足结合律，故有：
            【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】
       这个矩阵的第一个元素f[n]即为所求。

 

（二）   数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）

解法：仿照前例，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩阵A，使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],1】

即：【f[n-2],f[n-1],1】* A ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易构造出这个3×3的矩阵A，即：
               ０ １ ０ 
               １ １ ０ 
               ０ １ １

故：【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】

 

（三）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.
解法：仿照前例，考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩阵A，使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],n+1,1】
即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* A  = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】
容易构造出这个4×4的矩阵A，即：
                ０ １ ０ ０ 
                １ １ ０ ０ 
                ０ １ １ ０ 
                ０ １ １ １

故：【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】

 

 

（四）   数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：仿照之前的思路，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A，得到1×3的矩阵：【f[n-1],f[n],s[n-1]】

即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A  = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】
容易得到这个3×3的矩阵A是：
                 ０ １ ０ 
                 １ １ １ 
                 ０ ０ １

这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1)

f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有

【f(1),f(2),s(1)】* A  = 【f(2),f(3),s(2)】

故：【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n)】

 

（五）   数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,我们需要找到一个5×5的矩阵A，使得它乘以A得到如下1×5的矩阵【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A  =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】
容易构造出A为：
                           ０ １ ０ ０ ０ 
                           １ １ １ ０ ０ 
                           ０ ０ １ ０ ０ 
                           ０ １ ０ １ ０ 
                           ０ １ ０ １ １

故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】

 

一般地，如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s可以构造矩阵A为：
                             0  q  0  0  0 
                             1  p  1  0  0 
                             0  0  1  0  0 
                             0  r   0  1  0 
                             0  s  0  1  1

 

矩阵乘法

经典题目1

　　给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转

这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。

 

经典题目2

　　给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。

　　由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。

还有其他的题目具体见：

http://www.cnblogs.com/DreamUp/archive/2010/07/27/1786225.html

关于矩阵典型例题

http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2013/05/16/3082416.html