数学笔记13——定积分
来源:互联网 发布:数据线测试软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 08:28
什么是定积分
有一块形状不规则的土地,要测量它的面积,怎么办呢?
这意味着我们要求解曲线下的面积,该面积从a开始,到b结束,用 表示,这就是定积分。对比不定积分,发现定积分有起点和终点。不定积分是已知导数求原函数,定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。
黎曼和
如何求解曲线下的面积呢?为了简化问题,我们假设f(x) = x2,这是一个较为简单的曲线,同时设a = 0, b = 1:
分为三步计算面积:
- 首先把阴影部分却成一系列等宽的矩形;
- 把这些矩形的面积加起来:
- 修正之前的算法。
如下图所示:
将面积分为成一系列矩形
我们看到,每个矩形都可能超出或小于实际面积,所谓“修正之前的算法”,是修正矩形增加或减少的面积,具体做法是通过让矩形变窄来取得极限值,如下图所示:
矩形变窄
变得更窄的矩形
矩形越窄,就越接近实际面积。
当矩形宽度很小时,把所有矩型面积加起来就是这块不规则图形的面积,这就是著名的“黎曼和”。矩形宽度趋于0时,即为面积微分;各个面积求和取极限即为定积分。虽然牛顿时代就给出了定积分的定义,但是定积分的现代数学定义却是用黎曼和的极限给出。
就上图而言,f(x) = x2,a = 0,把ab分为n份:
曲线下的面积之和就是当n→∞时的矩形面积之和。现在的问题是如何求得(12+22+32+...+n2)/n3。
这需要一点技巧,用作图法求解。
想象一下金字塔,每一层都是有若干块砖头堆砌而成,其模型如下:
垂直切割面如下面两图所示:
图1 三角形面积大于金字塔面积
图2 三角形面积小于金字塔面积
由此可以将问题转换为求金字塔的体积。
所以,当n→∞时,
面积的示例
三角形的面积
f(x) = x,求阴影部分三角形面积。
长方形的面积
f(x) = 1,求阴影部分长方形的面积。
定积分的公式
结合上面的例子,设Δx = (b - a)/n,给出定积分公式:
可以得到下面的表格:
可以大胆地猜测,
总结
- 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。
- 当矩形面积很小时,把所有矩型面积加起来就是这块不规则图形的面积,这就是著名的“黎曼和”。
- 定积分公式:
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