排序——插入排序(C++实现)

插入排序的两个重要的的排序算法：直接插入排序和希尔排序。

直接插入排序

直接插入排序代码：

#include <iostream>using namespace std;void InsertSort(int a[], int n){//此算法的排序数组下标是从1开始的，下标为0的位置被当作哨兵int j = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i)//依次将a[2]~a[n]插入到前面已经排序好的序列中{if (a[i] < a[i - 1])//如a[i]小于前驱，需将a[i]插入到前面有序表中{a[0] = a[i];//复制为哨兵for (j = i - 1; a[0] < a[j]; --j)//从前面的有序序列中从后往前查找到待插入位置{a[j + 1] = a[j];//往后挪位}a[j + 1] = a[0];//复制到插入位置}}}int main(){int n = 5;int a[20];for (int i = 1; i <= n; ++i){cout << "Please enter a number : ";cin >> a[i];}InsertSort(a, n);for (int i = 1; i <= n; ++i){cout << a[i] << "  ";}cout << endl;return 0;}

直接插入排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。

在最好的情况下，表中元素已经有序，此时每插入一个元素，都只需比较一次而不用移动元素，因而时间复杂度为O(n)。

稳定性：由于每次插入元素时总是从后向前先比较再移动，所以不会出现相同元素相对位置发生变化的情况，即直接插入排序是一个稳定的排序算法。

希尔排序

希尔排序的基本思想是：先将待排序表分割成若干形如L[i, i+d, i+2d, ...i+kd]的特殊子表，分别进行直接插入排序，当整个表中元素已呈“基本有序”时，再对全体记录进行一次直接插入排序。

希尔排序的排序过程如下：

先取一个小于n的步长d1，把表中全部记录分成d1个组，所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中，在各组中进行直接插入排序；然后取第二个步长为d2<d1，重复上述过程，直到所取到dt=1，即所有记录已放在同一组中，再进行直接插入排序，由于此时已经具有较好的局部有序性，故可以很快得到最终结果。到目前为止，尚未求得一个最好的增量序列，希尔提出的方法是d1=n/2，d(i+1) = [di/2]，并且最后一个增量等于1。

例子：

（1）初始增量为3，该数组分为三组分别进行排序。（初始增量值原则上可以任意设置（0<dk<n），没有限制）
（2）将增量改为2，该数组分为2组分别进行排序。
（3）将增量改为1，该数组整体进行排序。

希尔排序代码：

#include <iostream>using namespace std;void ShellSort(int a[], int n){//此算法的排序数组下标是从1开始的，a[0]只是暂存单元，不是哨兵//前后记录的增量是dk，不是1for (int dk = n / 2; dk >= 1; dk = dk / 2)//步长变化{for (int i = dk + 1; i <= n; ++i){if (a[i] < a[i - dk])//需将a[i]插入有序增量子表{a[0] = a[i];//暂存在a[0]int j = i - dk;for (; j > 0 && a[0] < a[j]; j -= dk){a[j + dk] = a[j];//往后挪位}a[j + dk] = a[0];//复制到插入位置}}}int main(){int n = 8;int a[20];for (int i = 1; i <= n; ++i){cout << "Please enter a number : ";cin >> a[i];}ShellSort(a, n);for (int i = 1; i <= n; ++i){cout << a[i] << "  ";}cout << endl;return 0;}

希尔排序算法的性能分析如下：

空间复杂度为O(1)

时间效率：由于希尔排序的时间复杂度依赖于增量序列的函数，这涉及数学上尚未解决的难题，所以其时间复杂度分析比较困难。当n在某个特定范围时，希尔排序的时间复杂度约为O(n^1.3)。在最坏情况下希尔排序的时间复杂度为O(n^2)。

稳定性：当相同关键字的记录被划分到不同的子表时，可能会改变它们之间的相对次序，因此，希尔排序是一个不稳定的排序方法。