[BZOJ1041][HAOI2008]圆上的整点（数论）

为了考虑方便，把问题视为以下模型：
对于任意的1≤x<r，求出满足r2−x2是完全平方数的x的个数，并把结果加1（坐标轴上的整点）再乘4（4个象限）。
求x的个数仍然是暴力统计，但是此题可以利用r2−x2是完全平方数的必要条件，缩小枚举范围。
怎样求出这个必要条件呢？首先，把r2−x2化为(r+x)(r−x)。
思考ab为完全平方数的条件。可以看出，如果ab是完全平方数，那么agcd(a,b)∗bgcd(a,b)一定也是完全平方数，反过来也一样（因为gcd(a,b)2是完全平方数）。此时设u=agcd(a,b),v=bgcd(a,b)，那么u和v一定互质。容易推出ab为完全平方数当且仅当u,v都是完全平方数。
再看gcd(r+x,r−x)的取值。容易得出，gcd(r+x,r−x)=gcd(r−x,2x)。设d=gcd(r−x,2x)。
当d|x时，则有gcd(r−x,2x)=gcd(r−x,x)=gcd(r,x)，此时d可以取r的任意约数。
否则有gcd(r−x,2x)=2gcd(r−x,x)=2gcd(r,x)，此时d可以取r的任意约数的两倍。
从上面推出，d=gcd(r+x,r−x)的取值范围为r的每一个约数和每一个约数的两倍（注意去重）。
考虑枚举d，则可以用「r−xd的值为完全平方数」作为必要条件进行计算。由于r−xd只能是完全平方数，所以对于每一个d，只要枚举rd以内的所有完全平方数，就可以求出对应的x值并进行判断了，但要注意：
1、必须要有1≤x<r才能统计。
2、为避免重复，必须判断是否gcd(r+x,r−x)=d。
代码：

#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e4 + 5;int r, tot; ll Ans, a[N];ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}int main() {    int i, d, S, j, cc = 0; cin >> r; S = sqrt(r);    for (i = 1; i <= S; i++)        if (r % i == 0) {            a[++cc] = i; a[++cc] = 2ll * i;            if (r / i != i) a[++cc] = r / i,                a[++cc] = 2ll * (r / i);        }    sort(a + 1, a + cc + 1); tot = unique(a + 1, a + cc + 1) - a - 1;    for (j = 1; j <= tot; j++) {        d = a[j]; for (i = 1; 1ll * i * i * d <= r; i++) {            int x = r - i * i * d; if (x <= 0 || x >= r) continue;            if (gcd(1ll * r + x, 1ll * r - x) != d) continue;            ll w = 1ll * r * r - 1ll * x * x;            ll s = sqrt(w); if (s * s == w) Ans++;        }    }    cout << (Ans + 1) * 4 << endl;    return 0;}