八皇后问题——列出所有的解,可推至N皇后
来源:互联网 发布:js入门教程视频 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 06:31
《数据结构》——邓俊辉版本 读书笔记
今天学习了回溯法,有两道习题,一道N皇后,一道迷宫寻径。今天,先解决N皇后问题。由于笔者
擅长java,所以用java重现了八皇后问题。
注意是java实现版本,其实用什么语言,都一样。
写在前面的话,
如果想看代码,直接往下拉,注释写的很清楚,凭借注释应
该也能理解八皇后问题。
1. 首先知道什么是八皇后问题,不过,相信看到这里的同学,都应该知道八皇后
问题,简单概括为:每个皇后的势力范围如下图红线标注所示,也就是横纵轴、两条对角线 。在一个皇后的势力范围内,就不能再出现其他皇后了。
2. 这里选用经典的八皇后问题,想让八个皇后,在棋盘上相安无事。用代码怎么实现?首先,明白一件事,电脑就是小萌新啊,只会计算最简单的计算,2+3,它兴许都得差分为(1+1)+(1+1+1)来计算,唯一的优势就是计算的速度比我们快。
3. 刚看到回溯法的时候,想着要用代码,写出来。感觉无从下手,以为很难的,以为电脑不会笨的一个一个去尝试,以为有很神奇的方法存在。学完以后,才发现,很简单,发现回溯法,也是从穷举起手的,只不过带着一定的策略,说白了,优化过的暴力求解。以后,遇到各种听着很高大上的问题别慌,比如,动态规划、深度优先搜索。都是穷举!!只是加了一些策略。I can I believe !你之所能,是因为你想信你能!
解题思路:
都是文字讲解,主要是笔者没有图!!!诶,希望你们读完,能学会八皇后问题。如果文字看不下去。可以直接去看代码,注释写的很详细。
- 一行只能有一个皇后,这个根据游戏规则中的皇后的势力就可以得知。
- 首先让皇后从起点开始摆放。因此,第一个皇后的位置先摆放在(0,0)上,第二个皇后根据游戏规则,只能在第二行寻找合适的位置。在第二个皇后的位置确定以后,再去第三行寻找第三个皇后的位置,以此内推。直到所有的皇后的位置都确定了,问题的一组解,就出来了!但是问题并不是这么简单。
- 比如现在有三个皇后A、B、C。A在第一行,B在第二行都找到合适的位置了,在第三行所有的位置都是A或者B皇后的势力范围。尴尬了,皇后之间要打架了。怎么办?聪明的你,可能会想到让B皇后,重新找一个合适的位置(这个合适的位置,从B当前的下一个位置开始寻找),然后再来为 C选择合适的位置。如果C还是没有合适的位置,就再次为B寻找合适的位置,循环往复这个动作。
- 细心的你,可能会有疑问,每次C皇后,找不到合适的位置,就去让B重新寻找合适的位置难道B皇后就一直会有新的合适的位置吗?答案是否定的,当B皇后在它所处的行,再也找不到合适的位置,就说明A皇后的位置,也需要变动了。A皇后的位置变动,跟其他皇后不一样,因为,当前B、C皇后都因为没有合适的位置,所有,就没有摆放在棋盘上。因此,这里棋盘上就一个皇后A,所有它只需要右移一个位置即可。A皇后位置更新以后,就再去为B皇后找合适位置,如果有合适位置,就再去为C皇后寻找合适的位置;如果B皇后没有合适的位置,就再次右移A皇后,循环上面的过程。
- 有的同学,可能会有疑问,照你说的,计算机就是通过穷举解决问题的,上面的解题过程,计算机确实也是笨笨的一个一个位置去寻找的。那么这算法有效率吗?答案是有效率的。不知你们发现没有,我们每个为下一个皇后寻找合适的位置的时候,都与之前存在的皇后做了比较。只有,有合适的位置,才会摆放皇后;这里寻找合适的位置,会排除没有意义的试探,比如,将皇后摆放在之前某个皇后的势力范围内。没有排除没意义的试探,才是正正的傻傻的穷举。我们的算法,是带着策略的穷举。
- 上述每次为下一个皇后,寻找合适的位置,就是试探。每次试探不到合理的位置,回头去改变前一个皇后的位置,就是回溯;排除没意义的试探,就是剪枝。上诉的解题过程,就是一个回溯法的思路。
用代码求解八皇后问题
回溯法,如何回溯?需要我们的栈结构,来保存我们每次已经找到合适位置的皇后的列坐标,坐标从0开始。为什么不保存行坐标呢?因为,一行只能有一个皇后,栈中皇后的下标,就是对应皇后的行坐标啦。
首先我们定义一个皇后类
在皇后类中,我们写了一个方法判断,两个皇后之间是否安全
/** * 皇后类 */class Queen { // 棋盘中的皇后下标,从0开始 int x; int y; public Queen(int x, int y) { this.x = x; this.y = y; } public Queen() { } /* 判断皇后所处位置是否相互安全,接收一个皇后对象 安全返回真,不安全返回假 */ public boolean isSafe(Queen q) { return !(this.x == q.x || this.y == q.y || this.x + this.y == q.x + q.y || this.x - this.y == q.x - q.y); }}
在测试类中定义一个方法,求新皇后应该放置的合理位置
这个方法中创建一个新皇后对象,与之前已经存在的皇后作比较。比较函数则是皇后类定义的方法。找到合适位置,就返回合适的位置的列坐标;返回-1,代表没有合适位置。
/** * 为皇后寻找合法位置 */ public int setY(int N, ArrayList<Integer> list, int y) { Queen q; Queen q_exist;// 做个标记, boolean flag ;// 遍历一行的所有位置 for (int z = y; z < N; z++) {// 为每个格子创建一个新的皇后 q = new Queen(list.size(), z);// 起始标记为真 flag = true ; for (int x = 0; x < list.size(); x++) {// 创建之前存在的皇后 q_exist = new Queen(x, list.get(x));// 安全 就返回真,循环作比较 if (!(q_exist.isSafe(q))) {// 只要和之前存在的的任何一个皇后冲突,// 并且说明当前皇后不是真的,将标记改为假// 并跳出当前跳出循环, flag = false; break; } }// 如果标记还为真,说明皇后是对滴,并返回新皇后的列坐标,结束函数 if (flag) { list.add(q.y); return q.y; } }// 函数没有提前结束,说明没有合适的位置,返回-1; return -1; }
求出所有组解
跟着注释看,相信大家都能学会
/** * 求解N皇后的问题,并给出所有的解,找到一组解,就让最后的皇后换位置,直达第一个皇后的角标越界 * 笔者认为 next_y 变量的动态赋值的 需要很好的理解 * @param N 表示一共有多少皇后,也是棋盘的规模 N x N */ private void placeQueen(int N) {// 表示一共有多少种解法 int all = 1;// 代表皇后的y坐标 int y = 0;// 在当前行,下一个位置开始重新寻找合适的位置 int next_y = 0;// 建立一个栈,用于回溯// 栈中存放的是皇后的列坐标,也就是y坐标 ArrayList<Integer> list = new ArrayList();// 定义一个皇后 Queen queen;// 开始计算每种情况 while (true) {// 先判断之前有没有皇后存在 if (list.size() == 0) {// 创建一个皇后对象,从0开始摆放 queen = new Queen(0, y);// 将皇后的y坐标记录下来,而x坐标就是栈的长度-1 list.add(queen.y);// 下一次,栈再次空了,说明第一行的皇后需要右移 y++; } else {// 如果已经有皇后存在,既需要为当前皇后寻找合适的位置了// 就是看setY()方法的返回值// 在寻找当前皇后合适位置之前,我们先判断是否求出一组解// 如果,求出一组解,我们打印当前的解 if (list.size() == N) { System.out.print("第" + all + "组解: "); all++; for (int num : list) { System.out.print(num + " "); } System.out.println();// 当前一组解,已经打印完毕// 需要重新寻找新的解// 我们这里让栈顶的皇后,重新寻找位置// 改变next_y的值就好了。 next_y = list.get(list.size() - 1) + 1;// 记得弹出栈顶的皇后 list.remove(list.size() - 1);// } } else {// *****************************************************// 就是这里 我上午写了一个比较臃肿的方法// 我下午回来,试着重构,结果改了3个小时,才改对了!// 简直日了狗了,澡都没赶上洗,午觉也没睡成// setY()方法中,寻找到合适的位置,就会自动添加到栈中// 因此,这里只关注返回-1的情况// 返回-1 ,表示需要回溯前一个皇后了 if (-1 == setY(N, list, next_y)) {// 记录下,先开始的位置// 这个next_y 很重要的// 如果需要在当前行 重新寻找合适的位置// 就需要从当前位置的下一个位置开始遍历寻找// 因此next_y的值,为当前位置+1 next_y = list.get(list.size() - 1) + 1; list.remove(list.size() - 1);// 这里针对的是求出所有解的情况下,退出// 当求出最后一组解的时候,再次将栈顶元素弹出,重新回溯的话// 必然会回溯到最初的皇后,即第一个皇后,弹出第一个皇后的时候// 栈为空。这里就需要作出判断了// 第一个皇后的下一个位置,是否超出了N的限制 if (list.size() == 0) {// 判断是右移还是退出 if (next_y < N) { list.add(next_y); next_y = 0; } else { break; } } } else {// 如果setY()没有返回-1,说明找到了合适的位置// 就需要为下一个皇后寻找合适的位置了// 在新的一行开始寻找,必然需要从0开始寻找位置 next_y = 0;// **************************************************** } } } } }
测试方法
不了解Junit测试框架的同学,这里将 placeQueen(6);写到main函数里面即可。
@Test public void test() { placeQueen(6); }
运行结果
六皇后问题一共有四组解
得出的解,只是皇后从0开始的 “列坐标” ,它们的行坐标,是0到N-1顺序排列;比如 : 1 3 5 0 2 4,就是下面的情况列 行 1 03 15 20 32 4
4 5
下面运算一下经典的八皇后,看看一个有多少组解
在图中可以看出,一共有92组解。并且可以看到我们计算所有的解,只花费了0.026s。还是很快的。
八皇后问题,已经被我们解决了,用的就是回溯法,可能你
已经对回溯法,有了一定的了解,就是试探-剪枝-回溯。
希望你下次遇到什么新的算法策略。不要紧张,它们只是穷
举,带有策略的穷举,策略还需要你来写呢!
回溯法还有一个好玩的题,迷宫寻径。过几天,我在写一个关于迷宫寻径的博
客,题目有千千万,但是思想是一样的。希望大家和我,都能在解题过程中,对
回溯法有一个很好的掌握,下一次遇到问题的时候,能熟练使用回溯法解决它。
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