洛谷P1351 联合权值

题目描述

无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生Wu×Wv 的联合权值。

请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为link .in。

第一行包含1 个整数n 。

接下来n - 1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数u 、v ，表示编号为 u 和编号为v 的点之间有边相连。

最后1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图G 上编号为i 的点的权值为W i 。

输出格式：

输出文件名为link .out 。

输出共1 行，包含2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G 上联合权值的最大值

和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007 取余。

输入输出样例

输入样例#1：

5  1 2  2 33 4  4 5  1 5 2 3 10 

输出样例#1：

20 74

说明

本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有( 1,3) 、( 2,4) 、( 3,1) 、( 3,5) 、( 4,2) 、( 5,3) 。

其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

【数据说明】

对于30% 的数据，1 < n≤ 100 ；

对于60% 的数据，1 < n≤ 2000；

对于100%的数据，1 < n≤ 200 , 000 ，0 < wi≤ 10, 000 。

一看到题目就知道，这是一个树形结构。。。

神一般的题……

经过了一整天的冥思苦想，终于AC了。

下面是思路：（99.9% 都是自己想出来，0.1% 是看了题解才知道有注意事项。。。）

1、联合的两个节点距离为二，所以必定有一个中转点。所以，我们可以枚举每一个中转点。

2、假设每个中转点周围有两个点，权值分别为a、b，则联合权值为2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)。

3、若有三个点，权值分别为a、b、c，则联合权值为2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)。

4、综上，以某个节点为中转点的联合权值之和等于权值和的平方减去权值的平方和。（+1！！！！！）

5、为了找到最大的联合权值，只需找到周围最大的两个权值max1，max2，相乘判断即可。

注意：虽然题目让%10007，但最大联合权值是不能%10007的！！！

附代码：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#define MOD 10007#define MAXN 200010using namespace std;int n,c=1;int head[MAXN],num[MAXN];long long ans=0,maxn=0;struct node{       int next,to;}a[MAXN<<1];inline int read(){       int date=0,w=1;char c=0;       while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}       while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}       return date*w;}void add(int x,int y){     a[c].to=y;     a[c].next=head[x];     head[x]=c++;     a[c].to=x;     a[c].next=head[y];     head[y]=c++;}int main(){    int x,y,t;    n=read();    for(int i=1;i<n;i++){            x=read();y=read();            add(x,y);            }    for(int i=1;i<=n;i++)num[i]=read();    for(int i=1;i<=n;i++){            long long maxn1=0,maxn2=0,s1=0,s2=0;            for(int j=head[i];j;j=a[j].next){                    t=a[j].to;                    if(num[t]>maxn1){maxn2=maxn1;maxn1=num[t];}                    else if(num[t]>maxn2)maxn2=num[t];                    s1+=num[t];s2+=(long long)num[t]*num[t];                    s1%=MOD;s2%=MOD;                    }            s1=s1%MOD*s1%MOD;            ans=(ans+s1-s2+MOD)%MOD;            maxn=max(maxn,maxn1*maxn2);            }    printf("%lld %lld\n",maxn,ans);    return 0;}