LIS O(n log n) 详解

虽然之前就会了，但是今天用这个方法来求 O(n ^ 2) 的 LIS 中用到的 f[i] 时出了点小差错，所以特立此贴，留作教训。

1.传统 O(n ^ 2) LIS
用 DP 的原理。设 f[i] 为 以第i个元素结尾的上升子序列的最大长度。易得状态转移方程 f[i] = max{ f[j] + 1 | num[j] < num[i], j < i}。

2.O(n log n) LIS
设h[i]为 长度为 i 的上升子序列的结尾元素的最小值。很明显，这个 h[i] 是个单调递增的数组。
证明：如果h[i + 1] < h[i]，那么长度为 i 的子序列可以索性不要 h[i] 这个元素，而是让 h[i + 1] 结尾，所以 h[i] 不会大于 h[i + 1]。
如果有h[i] = h[i + 1]，考虑长度为 i + 1的子序列是如何生成的。它必然是由长度为 i 的子序列加上一个更大的数组成的。现在长度为 i 的子序列的结尾的最小值为 h[i]，那么长度为 i + 1 的子序列的结尾不可能等于 h[i]，否则子序列就不是严格上升的了。
因此 h[i] 是个单调递增的数组。

怎么求最长上升子序列的长度呢？
很明显，如果我们按正确的算法操作下去，最后的答案就是 数组h 的大小。那怎么操作呢？
如果 h.back() < num，就把 num 加入 h 的末尾(push_back)；否则在 h 中二分查找，找到第一个大于等于 num 的数(lower_bound)，把这个数改成 num。只要知道了 h[i] 的含义，这个操作应该就不难理解。

3.用 2 的方法求 1 的 f 数组
如果我们要求 f 数组，也可以用 2 的方法来求。如果 h.back() < num，那么 f[i] 就等于 push_back(num) 之后的 h.size()。如果 h.back() >= num，设二分查找找到的 iterator 为 it，那么 f[i] = it - h.begin() + 1。

4.注意
如果是严格上升下降，应当用 lower_bound，否则用 upper_bound。同时注意把 num push_back 到 h 中时到底要求满足的是 小于 还是 小于等于。