10.22_数论总结

这一周复习了数论内容：

组合数：
常用的有lucas定理以及求逆元的操作，思维题比较多，
常常运用于统计方案个数。

有时候直接式子难以直接求，需要化简。
常用的转化方式：
通过添减项（+1=+C(n,n)），利用C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)来合并各项。
另外还有一些问题可以通过转化模型最后变为组合数，这种情况可以先想想什么是容易求的，再想想可否转化。
例如求长度为n的单调不降序列个数问题的常用转化

求组合数的常用方法：

关于法四，具体是：
筛出1-n中所有质数，筛出每个数最小的质因子p[i]。
求C(n,m)
开一个cnt[n]的数组。
for(i=n~1) 对于每个i（质数跳过），拆成两个数p[i]和i/p[i]，cnt[p[i]]和cnt[i/p[i]]都加上cnt[i]，cnt[i]赋为0。
这样之后cnt[p]存的就是质因子p的指数。
因为n以内的质数有 n/logn 个,for每个指数，快速幂是log的，因此最终求C(n,m)的复杂度是O(n)的。

容斥原理
还是有些不熟悉。

常用的DFS

void dfs(int pos,LL num,int dep){    if(pos==(n+1)||num>m) return;    LL nnum=1LL*a[pos]*1LL*num/gcd(a[pos],num);    int select=(dep%2==0)?-1:1;    ans+=select*m/nnum;    dfs(pos+1,num,dep);    dfs(pos+1,nnum,dep+1);}

dfs(1,1,1);

然后学到了奇妙的：
二进制枚举子集的方法
非常巧妙也非常优。

两个套路：
与起来为k/交集为k ：包含k的 - 包含k+1的 + 包含k+2的…
或起来为k/并集为k ：k包含的 - k-1包含的 + k-2包含的…

线性筛
除了筛素数外常用于求积性函数.
套路：
直接套式子求出f(1)，f(p)，f(pk) （因数比较少很好讨论）
对于每个数 x 筛出：
other[x]这个数除去其最小质因子p剩下的数（xpk）。
ind[x]这个数最小质因子的指数。
每次对于一般的数x=i∗p，就直接利用积性函数的性质乘就行了：f(x)=f(i)∗f(p)
对于 i%p==0，f(x)=f(pk)∗f(other(x)) （这个p^k就直接x/other(x)）

以之前facsum的代码为例：

void shai(){    f[1]=1; other[1]=1; ind[1]=1;     memset(is,0,sizeof(is));    is[1]=1;    for(int i=2;i<=n;i++)    {        if(!is[i])        {            pri[++ptot]=i;            f[i]=2-i;            other[i]=1;            ind[i]=1;        }        for(int j=1;j<=ptot;j++)        {            int p=pri[j];            LL x=1LL*p*i;            if(x>n) break;            is[x]=1;            if(i%p==0)             {                ind[x]=ind[i]+1;                other[x]=other[i];                if(other[i]==1)  //p^k                  f[x]=((mod-1LL*p*ind[x])%mod+(ind[x]+1)%mod)%mod;                else                  f[x]=(1LL*f[other[x]]*f[x/other[x]])%mod;                break;            }            ind[x]=1;            other[x]=i;            f[x]=(1LL*f[i]*f[p])%mod;        }    }}

逆元
O(n)递推求逆元

CRT
非常有用的工具，常用于模数不是质数，最后拆分分别求答案再合并。

欧拉定理
aφ(m)≡1(mod m)
gcd(a,m)=1
推论：
ax≡ax mod φ(m)+φ(m)(mod m)
gcd(a,m)=1
常用于简化指数。

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关于这周的测验：
组合数一类仍然比较弱，但一般的基本知识是知道的。
下一周仍然分出一天半左右集中复习数论。