12.1_数论总结

（这周的题解周末补）
规划上所有的知识点都浅浅地过了一遍。

挑几点重要的写吧，知识点的笔记和重要的东西都记在自己的小本本上了，这里就给自己提一些容易混淆的问题。

线性基： 定义与其性质息息相关。
消成上三角（方便，简单）vs 消成对角线（逐位、互不影响）
贪心的原理：拟阵的证明。

集合S,若某个S的子集r不存在任何一个非空子集异或和0，则r∈I.下面我们证明二元组M=(S,I)是一个拟阵。
遗传性：设A∈I,则A是S的线性无关组，则A的任意非空子集均线性无关，即对A的任意子集B,B均线性无关，因此B∈I,证毕。
交换性：设A,B∈I,且|A|<|B|,我们要证明存在x∈B,使得A∪{x}∈I.利用反证法，假设对于任意x∈B-A,均有A∪{x}不属于I,则B-A中的元素均在A的异或空间中，可由A的子集异或和表示。
因此B中的元素都在A的异或空间中。那么必然有B的异或空间包含于A的异或空间。由|A|<|B|且A,B线性无关，显然矛盾。因此交换性存在，证毕。
从而我们可以使用贪心算法确定最优解。
——wyfcyx大佬博客

发现好像没有理解的太清楚，UPD一发：
以下是自己的证明，可能不是很严谨。
首先引用线性基的一些性质：

线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值。
线性基是满足性质1的最小的集合
线性基没有异或和为0的子集。

证明是显然的：
1.相互异或不改变其异或出的值域。
2.考虑构造线性基的过程，当一个数不能被已有的基底异或出时，才把它加入线性基，这样就保证了第三点。
3.当且仅当一个数不能被表示时，才会被加入，这样能够保证是最小的集合。

首先，明确原来的S，是原来的数的集合，而r不存在任何一个非空子集异或和0，才有r∈I。
这样，对于上述假设，对于任意x∈B-A,均有A∪{x}不属于I，那么B-A中的元素均在A的异或空间中，可由A的子集异或和表示。
由于B与A的交集本身就可以由A表示，于是，B的异或空间被A的异或空间包含。
因为A，B本身就是不存在任何一个非空子集异或和0，可以由上述证明得知他们是最小的，
又因为B的异或空间被A的异或空间包含，且A，B线性无关，推出|A|>|B|，与|A|<|B|矛盾，于是原命题得证。

应用待补。

各种基础知识的扩展（exlucas，excrt…）:
思考问题的转化，利用消去律等一些基础操作来把它变成熟悉的模型。
（必须要把这些东西的运用变得像呼吸一样自然啊…）

FFT：
感谢从多项式乘法到快速傅里叶变换
（顺便复习了矩阵乘法，矩阵乘法是个好东西）
式子要会手推。
注意精度，四省五入+0.5。

void FFT(Virt *f,int opt){    Virt* w; if(opt==1) w=omg; else w=_omg;    for(int i=0;i<len;i++) if(i<R[i]) swap(f[i],f[R[i]]);    for(int i=2;i<=len;i<<=1)    {        int l=i>>1;        for(int j=0;j<len;j+=i)        {            for(int k=0;k<l;k++)            {                Virt z=f[j+k+l]*w[len/i*k];                f[j+k+l]=f[j+k]-z;                f[j+k]=f[j+k]+z;            }        }    }    if(opt==-1) for(int i=0;i<len;i++) f[i].r=f[i].r/(double)len;}

杜教筛：
感谢浅谈一类积性函数的前缀和
前面的预备知识帮助我复习了很多关于卷积和反演的知识。
利用这些东西把之前不清不楚的东西都手动证明了一遍。
目前没有动手实际地A掉一道题，只是手推式子，于是题目待补。
然后很多基础的常用式子和转化技巧都不是很熟，于是还是做不来，做题做得头昏昏。

群论：浅浅地过基础知识

母函数还是没有去搞它。

旧知各自做了一道题左右，以回忆代码为主。

这一周学新东西还是学得非常开心。
手推一些东西是有相当的乐趣，
但是这周来说题目还是做少了，记录的一些题也只停留在看看推推的地步，觉得数论这一块还是需要更多时间。
周末还打算A两道左右杜教筛/反演的题，然后再看看FNT，然后线性基可以尝试一下难一点的题。

于是，结束。