bzoj1010: [HNOI2008]玩具装箱toy（斜率优化）

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斜率优化拖了好久都没学。。

解法：
%%%

f[i]表示1~i的最小花费。

f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-L)^2) (j＜i)

f[i]=min(f[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-1-L)^2) (j＜i)

令s[i]=sum[i]+i,L=1+L

则f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2)

1.证明决策单调性

假设j1＜j2＜i,在状态i处的j2决策不比j1决策差（心里想着淘汰j1），

即要满足：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2＜f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2

则对于i后的所有状态t，是否j2也不比就j1差？（术语：证明决策单调性）

即f[j2]+(s[t]-s[j2]-L)^2 ＜ f[j1]+(s[t]-s[j1]-L)^2

容易理解s[t]=s[i]+v

所以得到（1）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L+v)^2＜f[j1]+(s[i]-s[j1]-L+v)^2

因为已知（2）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L )^2＜f[j1]+(s[i]-s[j1]-L )^2

所以化简（1）不等式：把s[i]-s[j2]-L看成一个整体，v看成一个整体，得到

f[j2]+(s[i]-s[j2]-L )^2 +2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2 ＜f[j1]+(s[i]-s[j1]-L )^2+2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2

比较（2）不等式：

左边多了一部分：2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2

右边多了一部分：2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2

所以我们只需要证：

2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2＜=2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2

即：(s[i]-s[j2]-L) ＜= (s[i]-s[j1]-L)

即： -s[j2] ＜= -s[j1]

即：s[j1]＜s[j2]这是肯定的，所以得证。

总结：对于当前i：j2比j1好，那么对于t(i＜t)来说一样：j2一样比j1好，

所以当前i选择j2，淘汰j1，以后的t也不会在j2存在的时候选择j1，

所以i的时候就可以永久淘汰j1.

2.求斜率方程：

因为f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2 ＜ f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2

展开:

f[j2]+(s[i]-L)^2-2*(s[i]-L)s[j2]+s[j2]^2＜f[j1]+(s[i]-L)^2-2(s[i]-L)*s[j1]+s[j1]^2

即f[j2]-2*(s[i]-L)s[j2]+s[j2]^2＜f[j1]-2(s[i]-L)*s[j1]+s[j1]^2

即f[j2]+s[j2]^2-2*(s[i]-L)s[j2]＜=f[j1]+s[j1]^2-2(s[i]-L)*s[j1]

即[ (f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2) ] ＜
2*(s[i]-L)s[j2]-2(s[i]-L)*s[j1]

即[ (f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2) ] /(s[j2]-s[j1]) ＜ 2*(s[i]-L)

对于j来说：

制造的点坐标

Y=f[j]+s[j]^2

X=s[j]

我们用队列list在存有意义的决策点，list中相邻两点的斜率递增（队列中的点形成一个下凸壳），而且都

大于2*(s[i]-L)，那么队列头对于i来说就是最优决策点。

加入决策i时，令队尾为list[tail]，前一个为list[tail-1]

斜率函数slop（点1，点2）

满足: slop(list[tail-1],list[tail]) > slop(list[tail],i) 时，

那么队尾list[tail]在三者（list[tail-1],list[tail]，i）对于未来的t绝对不会是最优的策略，所以将

其弹出tail–;

最后遇到了：slop(list[tail-1],list[tail]) <
slop(list[tail],i),保证了队列的相邻两点的斜率递

增所以加入i： list[++tail]=i;

代码实现：

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;typedef long long ll;ll s[510000],f[510000];int list[510000],head,tail;double hh(int y,int x) { //求斜率的东西    return ((f[x]+s[x]*s[x])-(f[y]+s[y]*s[y]))/(s[x]-s[y]);}int main() {    ll l;    int n;scanf("%d%lld",&n,&l);l++;    int sum=0;    for(int i=1;i<=n;i++) {        ll x;scanf("%lld",&x);        sum+=x;        s[i]=sum+i;    }    head=1;tail=1;list[1]=0;    for(int i=1;i<=n;i++) {        while(head<tail&&hh(list[head],list[head+1])<=(s[i]-l)*2.0)            head++;        int x=list[head];        f[i]=f[x]+(s[i]-s[x]-l)*(s[i]-s[x]-l);        while(head<tail&&hh(list[tail],i)<hh(list[tail-1],list[tail]))            tail--;        list[++tail]=i;    }    printf("%lld\n",f[n]);    return 0;}