Softmax 回归分析

1 简介

softmax回归模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 y 可以取两个以上的值。softmax回归模型对于像 MNIST手写数字分类等相关问题的解决上是非常有用的（tensorflow 上手写数字集的demo上就包含对softmax的说明，但是还是看不懂）

想象一下在逻辑回归（logistic）中，我们的训练集有 m 个已标注的样本构成：
{(x(1),y(1)),…,(xm,ym)}，其中的输入特征xi∈Υn+1 （我们对符号的约定x的维度为n+1，其中x0=1对应截距项。）由于logistic回归是针对二分类问题的，因此类标记yi∈{0,1}。假设函数（hypothesis function）如下：

hθ(x)=11+exp(−θTx)

我们将训练模型参数θ，使其能够最小化代价函数：

J(θ)=−1m[∑i=1my(i)loghθ(xi)+(1−yi)log(1−hθ(x(i)))]

在softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于logistic回归解决的二分类），类标y可以取k个不同的值，而不是两个，故对于训练集{(x(1),y(2)),…,(x(m),y(m))}，我们有y(i)∈{1,2,3,…,k}。在手写数字集MNIST识别中，k=10。

对于给定的测试输入x， 我们想用假设函数针对每一个类别 j 估算出概率值 p(y=j|x)。也就是说，我们想估计x的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个k维的向量（向量元素的和为1）来表示k 个估计的概率值。具体地说，我们的假设函数hθ(x) 形式如下：

hθ(x(i))=⎡⎣⎢⎢⎢⎢p(y(i)=1|x(i);θp(y(i)=2|x(i);θ⋮p(y(i)=k|x(i);θ⎤⎦⎥⎥⎥⎥=1∑kj=1eθTjx(i)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢eθT1x(i)eθT2x(i)⋮eθTkx(i)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

其中θ1,θ2,…,θk∈Υn+1 是模型的参数。请注意 1∑kj=1eθTjx(i) 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为1。
为方便起见，我们同样使用符号θ来表示全部的模型参数，θ 用一个kX(n+1)的矩阵来表示会很方便，矩阵是θ1,θ2,…,θk 按行罗列起来得到的，例如：

θ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢—θT1——θT2——⋮——θTk—⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

代价函数

1{值为真的表达式}=1
1{值为假的表达式}=0

代价函数：

J(θ)=−1m⎧⎩⎨⎪⎪∑i=1m∑j=1k1{y(i)=j}logeθTjx(i)∑kl=1eθTlx(i)⎫⎭⎬⎪⎪

该函数其实是logistic回归代价函数的推广，logistic回归函数可以改为：

J(θ)=−1m{∑i=1m(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))+y(i)loghθ(xi)}=−1m⎡⎣⎢⎢∑i=1m∑j=1l1{y(i)=j}logp(y(i)=j|x(i);θ)⎤⎦⎥⎥

从上述公式可以看出，softmax和logistic代价函数在形式上非常类似。softmax回归中，x 分类为 j 的概率为：

p(y(i)=j|x(i);θ)=eθTjx(i)∑kl=1eθTlx(i)

对于J(θ) 目前还没有闭式解法，经过求导得到如下梯度公式：

∇θjJ(θ)=−1m∑i=1m[x(i)(1{y(i)=j}−p(y(i)=j|x(i);θ))]

通过最小化J(θ)，我们就能实现一个可用的softmax 回归模型

逻辑回归和softmax之间的关系

当分类仅有两类时，softmax也就退化为逻辑回归了，例如当分类k=2时，softmax函数为：

hθ(x)=1eθT1x+eθT2x(x)[eθT1xeθT2x]

注意，softmax回归参数之间是有关联的（概率和为1），故利用该特点，令ψ=θ1，去掉其中一个参数向量θ1故有：

h(x) = 11+e(θ2−θ1)Tx(i)[1e(θ2−θ1)Tx(i)] = ⎡⎣⎢⎢⎢⎢11+e(θ2−θ1)Txi1−11+e(θ2−θ1)Txi⎤⎦⎥⎥⎥⎥

令 θ′=θ2−θ1 即可得出逻辑回归中的公式

使用说明

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？
这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。