社交网络图挖掘4--三角形计数问题

计算一个随机图中的三角形数目期望值

由n个节点和m条边随机构成的图的中：

1. 图中总共有(n3)=n3/6个三节点集合；
2. 在任意给定的两个节点之间加入边的概率为m/(n2)=2m/n2；
3. 如果每条边的选择独立，那么任意三节点中包含三条边的概率为(2m/n2)3=8m3/n6；
4. 则该图的三角形期望数目为：
   (8m3/n6)(n3/6)=43(m/n)3

一个寻找三角形的算法

相关概念
假设一个图有n个节点m条边，其中m>n：
1.

• 重节点（heavy hitter）：如果一个节点的度不小于m−−√，则该节点为重节点，重节点的数目不可能超过2m−−√。
• 重节点三角形（heavy hitter triangle）：如果某个三角形的三个顶点都是重节点，则该三角形为重节点三角形。

对图进行预处理：

1. 计算每个节点的度，时间为O(m)；
2. 以边的两个端点作为键对边建立索引，即给定两个节点，通过索引就可以确定这两个节点之间是否有边。时间为O(m)；
3. 以边的单个端点作为键对边建立另一个索引，即给定节点v，返回该节点的邻接节点。

对节点进行排序：

1. 首先按照节点的度排序，如果节点v的度小于节点u的度，则u<v；
2. 如果节点v的度等于节点u的度，则按照节点的编号谱排序，如果节点v的编号小于节点u的编号，则u<v；

寻找重节点三角形：
考虑所有重节点中所有三节点集合，重节点三角形可能有O(m3/2)个，时间为O(m3/2)。

寻找其他三角形：

1. 考虑每条边(v1,v2)，如果v1和v2都为重节点则忽略这条边；但如果假定v1不是重节点并且有v1<v2，令u1,u2,...,uk为与v1相邻的节点，其中k<m−−√，利用节点索引在O(1)时间内找到这些节点；
2. 对于每个节点ui，利用边索引在O(1)时间内判断边(ui,v2)是否存在；
3. 当且仅当边(ui,v2)存在，并且v1<ui 时，对三角形(ui,v2,ui)计数，时间为O(m3/2)。

算法总时间为时间为O(m3/2)。