171023_矩阵特征值和矩阵函数

来源：互联网发布：pdb数据库编辑：程序博客网时间：2024/05/22 17:18

在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有5种：

E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。
[V,D]=eig(A,'nobalance')：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回N×N阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。
[V,D]=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成N×N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向量构成N×N阶满秩矩阵，且满足AV=BVD。

eig

Find eigenvalues and eigenvectors
Syntax

d = eig(A)
d = eig(A,B)
[V,D] = eig(A)
[V,D] = eig(A,'nobalance')
[V,D] = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B,flag)

d = eig(A)和 [V,D] = eig(A)　最为常用，注意，第一列为对应第一个特征值的特征向量。

4.1.1 特征值和特征向量的求取

【例4.3.1-1】简单实阵的特征值问题。

A=[1,-3;2,2/3];[V,D]=eig(A)

V =

0.7746 0.7746

0.0430 - 0.6310i 0.0430 + 0.6310i

D =

0.8333 + 2.4438i 0

0 0.8333 - 2.4438i

【例4.3.1-2】本例演示：如矩阵中有元素与截断误差相当时的特性值问题。

A=[3 -2 -0.9 2*eps

-2 4 -1 -eps

-eps/4 eps/2 -1 0

-0.5 -0.5 0.1 1 ];

[V1,D1]=eig(A);ER1=A*V1-V1*D1

[V2,D2]=eig(A,'nobalance');ER2=A*V2-V2*D2

ER1 =

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0 -0.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 -0.5216

ER2 =

1.0e-014 *

-0.2665 0.0111 -0.0559 -0.1055

0.4441 0.1221 0.0343 0.0833

0.0022 0.0002 0.0007 0

0.0194 -0.0222 0.0222 0.0333

【例4.3.1-3】指令eig与eigs的比较。

rand('state',1),A=rand(100,100)-0.5;

t0=clock;[V,D]=eig(A);T_full=etime(clock,t0)

options.tol=1e-8;

options.disp=0;

t0=clock;[v,d]=eigs(A,1,'lr',options);

T_part=etime(clock,t0)

[Dmr,k]=max(real(diag(D)));

d,D(1,1)

T_full=

0.2200

T_part =

3.1300

d =

3.0140 + 0.2555i

ans =

3.0140 + 0.2555i

vk1=V(:,k);

vk1=vk1/norm(vk1);v=v/norm(v);

V_err=acos(norm(vk1'*v))*180/pi

D_err=abs(D(k,k)-d)/abs(d)

V_err =

1.2074e-006

D_err =

4.2324e-010

4.1.2 特征值问题的条件数

【例4.3.2-1】矩阵的代数方程条件数和特征值条件数。

B=eye(4,4);B(3,4)=1;B

format short e,c_equ=cond(B),c_eig=condeig(B)

B =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

c_equ =

2.6180e+000

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may beinaccurate. RCOND = 1.110223e-016.

> In D:\MATLAB6P1\toolbox\matlab\matfun\condeig.m at line 30

c_eig =

1.0000e+000

4.5036e+015

【例4.3.2-2】对亏损矩阵进行Jordan分解。

A=gallery(5)

[VJ,DJ]=jordan(A);

[V,D,c_eig]=condeig(A);c_equ=cond(A);

DJ,D,c_eig,c_equ

A =

-9 11 -21 63 -252

70 -69 141 -421 1684

-575 575 -1149 3451 -13801

3891 -3891 7782 -23345 93365

1024 -1024 2048 -6144 24572

DJ =

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

D =

Columns 1 through 4

-0.0408 0 0 0

0 -0.0119 + 0.0386i 0 0

0 0 -0.0119 - 0.0386i 0

0 0 0 0.0323 + 0.0230i

0 0 0 0

Column 5

0.0323 - 0.0230i

c_eig =

1.0e+010 *

2.1293

2.0796

2.0020

c_equ =

2.0253e+018

4.1.3 复数特征值对角阵与实数块特征值对角阵的转化

【例4.3.3-1】把例4.3.1-1中的复数特征值对角阵D转换成实数块对角阵，使VR*DR/VR=A。

A=[1,-3;2,2/3];[V,D]=eig(A);

[VR,DR]=cdf2rdf(V,D)

VR =

0.7746 0

0.0430 -0.6310

DR =

0.8333 2.4438

-2.4438 0.8333

4.1.4 矩阵的谱分解和矩阵函数

【例4.3.4-1】数组乘方与矩阵乘方的比较。

clear,A=[1 2 3;4 56;7 8 9];

A_Ap=A.^0.3

A_Mp=A^0.3

A_Ap =

1.0000 1.2311 1.3904

1.5157 1.6207 1.7118

1.7928 1.8661 1.9332

A_Mp =

0.6962 + 0.6032i 0.4358 + 0.1636i 0.1755 - 0.2759i

0.6325 + 0.0666i 0.7309 + 0.0181i 0.8292 - 0.0305i

0.5688 - 0.4700i 1.0259 - 0.1275i 1.4830 + 0.2150i

【例4.3.4- 2】标量的数组乘方和矩阵乘方的比较。（A取自例4.3.4-1）

pA_A=(0.3).^A

pA_M=(0.3)^A

pA_A =

0.3000 0.0900 0.0270

0.0081 0.0024 0.0007

0.0002 0.0001 0.0000

pA_M =

2.9342 0.4175 -1.0993

-0.0278 0.7495 -0.4731

-1.9898 -0.9184 1.1531

【例4.3.4-3】sin的数组运算和矩阵运算比较。（A取自例4.3.4-1）

A_sinA=sin(A)

A_sinM=funm(A,'sin')

A_sinA =

0.8415 0.9093 0.1411

-0.7568 -0.9589 -0.2794

0.6570 0.9894 0.4121

A_sinM =

-0.6928 -0.2306 0.2316

-0.1724 -0.1434 -0.1143

0.3479 -0.0561 -0.4602

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