布尔代数与编码

布尔代数简介

布尔代数起源于数学领域，用于集合运算和逻辑运算，由于逻辑运算与门电路之间的关系，我们可以用布尔代数来研究门电路。

1：发现

乔治·布尔发布《逻辑的数学分析》,《思维规律的研究》，创建了布尔代数。

2 : 基础

布尔代数可记为B=〈B，+，·，′〉第一个B称作布尔代数.第二个B称为布尔集。B包含两个元素TRUE(真)和FALSE(假)，用1和0表示，在布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非)用+，·，‘表示。
真值表：

性质如下：
1．a+b=b+a，　a·b=b·a. （交换律）
2．a·(b+c)=a·b+a·c， （结合律）
a+(b·c)=(a+b)·(a+c).
3．a+0=a，　 a·1=a.（重言律）
4．a+a′=1，　a·a′=0. （互补律）
5 . (a·b·c)’=a’+b’+c’(德摩根定律）
（a+b+c)’=a’+b’+c’

3 ： 发展

公理化
在 1933 年，美国数学家 Edward Vermilye Huntington (1874-1952) 展示了对布尔代数的公理化.
布尔环
每个布尔代数 都引出一个环 ,每个布尔环引发一个布尔代数.

4 ： 应用

在数字电路中，用0表示低电平，1表示高电平，用逻辑运算表示门

可以计算复杂电路的输出和化简电路；
举个例子：

电路可用布尔代数表示如下

.化简为

对应的电路如下

这两个电路是等价的。