筛法求素数与欧拉函数

问题：求小于等于n的素数个数

一般方法：从1~n都使用for循环判断是否为素数，时间复杂度为O（n2)，纵然优化后，在每一个for循环中取n=sqrt(n)判断，仍然会是O（3/2)的复杂度。为了将算法优化到线性级别，考虑使用辅助数组。

思路如下：设置2~n的for循环，定义check数组，初始值为0。遍历过程中，若某数为i的整倍数（如4为2的两倍，6为2的3倍），则设置check标记值为1，表示非素数。（普通筛选法--埃拉托斯特尼筛法）

优化：在埃氏筛法中，会有数字被重复标记。此处引入欧拉算法。

参考：http://www.cnblogs.com/grubbyskyer/p/3852421.html

#include<cstdio>#include<cstring>#include <iostream>using namespace std;#define MAXN 100005#define MAXL 1299710int prime[MAXN];int check[MAXL];int main(){int tot = 0;memset(check, 0, sizeof(check));for (int i = 2; i < MAXL; ++i){  if (!check[i])  {    prime[tot++] = i;  }  for (int j = 0; j < tot; ++j)  {    if (i * prime[j] > MAXL)    {      break;    }    check[i*prime[j]] = 1;    if (i % prime[j] == 0)    {      break;     }   } } int n; while(cin>>n) { int start=0; int number=0; while(prime[start]<=n)  { //cout<<"test"<<prime[start]<<endl; start++; number++; } cout<<number<<endl; }}

欧拉函数：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

仍然参考上述链接中的代码：

 1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #define MAXN 100005 4 #define MAXL 1299710 5 int prime[MAXN]; 6 int check[MAXL]; 7 int phi[MAXL]; 8 int tot = 0; 9 phi[1] = 1;10 memset(check, 0, sizeof(check));11 for (int i = 2; i < MAXL; ++i)12 {13   if (!check[i])14   {15     prime[tot++] = i;16     phi[i] = i - 1;17   }18   for (int j = 0; j < tot; ++j)19   {20     if (i * prime[j] > MAXL)21     {22       break;23     }24     check[i*prime[j]] = 1;25     if (i % prime[j] == 0)26     {27       phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];28       break;29     }else30     {31       phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);32     }33   }34 }