【UOJ 191/集训队互测】Unknown

题意

有一个初始为空的栈和m(m<=500000)个操作，不外乎三种：
1. 将向量(xi,yi)压栈。
2. 弹栈。
3. 询问栈中第l到r个向量与(x,y)外积的最大值。

分析

1.没有2操作

注意到这里的“外积”只是外积的竖坐标，而且可以转化为内积。而内积最大即a⃗ 到b⃗ 上的投影最长，所以只需考虑在凸包上的向量。
首先想到用线段树维护其区间中的向量的凸包(分为上下凸包)，查询时在若干个凸包上三分。若照常把1操作当成修改，则要支持凸包内动态插点，这当然可以用一个Treap或Splay维护，但方法不算优秀，无法AC。换个角度想：在栈不断变大的过程中，线段树每个节点对应的区间一旦被覆盖就不会有任何改动，所以我们只需要在一个区间被覆盖满后一次性构建凸包即可。时间复杂度为Θ(nlog22n)大概还有个1/2的小常数。

2.有2操作

那么，只需反复进行12操作，上面的程序就会超时。何以蔽之，从根本上来说就是要保证凸包的构建次数足够小。这里的思路是：在一个区间被覆盖时，检查同层的上一个区间，若其没构建凸包则构建。这样保证了凸包构建次数与之前拥有同一上界，同时查询时真正利用的区间个数仍为Θ(log2n)(同大小的区间不会出现超过4次)。如此一来，问题在Θ(nlog22n)内得到解决。

收获

本题的思想非常精妙，不仅适用于维护凸包，更适用于其他不可合并结构相关的栈上Q&A。至于此题的其他解法亦十分精妙，待日后补完。

疑问

在调试过程中，网上copy的AC代码并没有通过我造的样例，在此悬赏hacking(包括我， 哪个都可以试试)。

AC1
AC2
0

010001 78213191 2273917423 1 1 475761683 3492257611 -31129056 1703976771 285890805 -4557772243 3 3 -394794167 -5184488963 3 3 234379752 -4257514013 1 2 -367353067 -878765121 -245734052 2286426991 -266406202 2817672633 3 3 428048233 -769209213 3 4 452246060 1385429262223 1 1 -5625313 114033313 1 1 516115962 -1164155481 -221385500 1827554191 136318907 -41237194721 -271083297 -4933449983 2 2 403756767 -3575770631 -520175583 5545271 108397009 -246732785223 3 3 -405725939 -696998961 -483665851 -1324505803 2 3 -93841554 -4807207813 4 4 -270563188 -47449032923 2 3 181109605 -4491202651 3825776 -5248730941 -477634573 395105971221 263501803 -4333517021 301554648 6052192321 -347821049 -2395713963 1 1 -204892897 20342983123 4 4 -403255107 31724527923 3 3 82016569 -12347214923 2 2 128178054 4751973033 2 2 455195199 -426204479221 -270876102 532953721 -54618868 4678675451 278566810 1568384083 3 3 -287771334 30938315021 -246740421 82090151 -292064590 -2283859893 1 2 309822740 6635950121 367476648 4391209051 2844003 2151325183 4 5 169090267 -5239586003 3 3 -366842722 -4784626583 5 5 -196957886 2845021233 1 4 357216711 6991978221 84959903 -44237017023 2 3 461038103 3187433953 3 3 172026320 564115313 2 2 -331859260 -445079672221 -41478743 5094298561 184758670 4205269771 134855677 221260878221 -89043629 471148521 -221767130 2780349193 1 3 -122447114 48196443 2 4 100788828 -3486997281 -447506517 -4337163283 5 5 310635783 117435782221 -399842693 -2359973763 3 3 -321636026 -4489373841 234367015 -1821385331 69767882 2945227833 1 1 55461495 2365665013 3 4 266799856 -3700398232222221 232149333 9522742521 -406328257 850092741 -211936788 692192583 2 2 -21358920 33541116023 1 1 375605777 -21260958521 -288181576 -934800173 1 1 468535804 33359710221 101201288 1583378633 1 1 -264728733 -3344165451 108563762 -3875343611 439768280 -157482421 185050798 -60527091 -33344128 322641542223 1 2 -394329693 3879048361 167279969 -92690335221 299060001 -27508663221 -120188229 4918107231 435185904 -7759254823 1 1 -52027037 5352025773 1 2 17575547 19910541821 514105739 -1631197083 1 1 -513821010 1927267151 393637701 -1952999503 1 3 65015540 2784967023 1 1 194831650 4500898161 372771591 14434672423 3 3 -298161842 -332293294221 -533797117 1941039651 220474277 532246439221 -389221791 -1492515891 225507208 -3733678283 1 2 -121533987 -3730516023 1 2 -520188387 3543964373 2 2 -440462173 -1628398421 263100416 11344773621 -79247062 466242421 -462597294 -1762739551 -40324371 -40475099323 1 1 -102610682 -48103369421 477773190 -36491983721 -389664665 4399654363 2 3 -140076992 2936505353 5 5 -282235773 3041641161 -451708414 -2269308121 152389855 -46683473623 2 3 -85339657 129575511221 -422568383 -3616616403 2 4 -336793572 -2743188911 -177017697 -1284474361 4533288 -181885151 325777951 -3734470973 6 8 456939093 -3997990691 73033724 10952412821 -119882716 -1972061461 405919043 560968993 2 2 -434020917 -5079283251 194762428 -1918560391 -231480276 3213945601 -374189602 -272634012223 1 10 -519778786 4213049921 -64023759 -21834575921 -258056572 2511599563 7 7 -69923903 -4762552303 8 9 -49789535 835359531 -204110646 1212929011 -84974505 3578801263 10 10 -530790609 1170872301 -476297162 2013678413 4 4 -483706381 -5643622723 10 10 -251723184 28280401 495592214 -44846724823 8 14 -16375545 -38280049021 533670276 -5109940793 2 6 -318391393 -48315008021 466514043 -33212618423 11 11 -262021640 398657803 8 8 206335354 -2992216701 86716814 -2041462503 14 14 373262713 48418257321 -230173308 51531457621 -312928412 1356607003 12 12 455627747 2259100321 -235833412 4954515851 488418173 -19996594921 -142222419 46441473923 6 9 -96270691 -2118306573 9 10 214436109 2296180731 515375178 -3415905162223 12 12 -531551132 5014071643 4 13 218980784 22191085921 -12348975 1650121863 10 10 -168767315 1766578721 468122024 -2874020121 -758242 386255361 -367914609 -4016485873 7 8 -431561068 -39024093323 12 13 331072441 -2104895383 4 10 474474002 -5033141121 271769992 49381096823 14 14 498214393 2175732343 5 6 97114651 3452268421 -529896626 22332149923 1 14 -33312539 -1169689813 1 3 327999721 1243589653 5 8 40362651 -2507204031 -32222419 -11568612321 -39040926 12994870623 10 13 490498373 -3096783423 2 11 -249595105 42866324123 10 10 447367514 -2747434293 13 13 -184944138 -403534785221 -321901475 353093553 3 11 -370613602 3923265811 -405989265 4773678163 2 9 -459492033 -3114937121 -380668239 -984044753 12 12 339964030 -19318139723 6 13 88568342 4782916301 -294777502 49251273921 -313435251 2621957803 13 14 -502328691 -17897370021 -289501955 2824775241 -536557702 -2923314783 6 13 -448446809 -3079555801 -144263588 9209591521 332910462 1118793963 9 15 -54854606 1370904273 3 6 409211310 -19735137021 -167466384 2891519823 13 14 -356516068 48791247423 1 3 -13901050 4206121851 -6106557 2172489571 193229295 -20047213923 10 14 -334138128 3988006713 6 10 -280187270 -43411433023 14 14 224904094 1892795491 -169242667 4957983883 4 5 -496651616 -21864251823 7 9 283604212 -90547793 7 11 139518107 -3117740951 147763509 1531030403 9 13 -150857273 -2573430391 -417295834 4160005961 -326192836 -14813412321 74021123 299295353 12 15 431225624 724548711 209614768 -26390835123 7 15 487579885 1321241371 145317500 -4906946901 438067984 -2536082431 -213553692 4314899503 13 19 -82358282 4587126723 5 16 361371542 52595123 17 17 284197085 -47426171721 -19640771 -3028667453 3 7 -219003971 -4192497312223 15 15 9580326 4059053051 -474944231 -25968056021 295232117 33189469022223 13 13 -441334835 4989563501 -434713643 -4601858661 386832427 -650252461 31397519 1140374451 178246731 1028531291 33081606 3296344341 -101458826 -4105497081 -328759686 1393815373 14 15 -154548736 -3721762923 14 17 172322271 -2666199621 -248717090 5341985153 6 13 -525821948 -3360146571 21383755 -7680566223 20 21 242939513 247331701 -302316776 3010918171 158211361 -2889661241 364048432 -327759246222221 -87990584 3609436971 429850901 22484885221 -416015944 -2460918761 259450857 -17619306821 -351949365 23374622621 122007710 52481268821 182536501 1623946973 20 21 201585077 -3862652193 15 19 407762221 -979767993 20 22 535415132 23794225821 -124346901 -826362162221 -96830120 65061003 2 14 43628931 2181054033 3 4 15101675 5186797453 11 12 399867672 -1909344361 -238236673 -3086545963 2 19 -265007317 -5228662663 17 20 -221671688 -36520868021 -315820503 38732581221 -461312793 4887490791 -342077364 1965923041 -384929173 39077511923 8 9 65018458 -2336514853 19 21 -433955519 -2585141663 16 17 255391982 44353034223 10 15 404389696 -51808359121 -174717200 -19776862923 15 20 -82488709 -501631413 7 15 460365212 -571330441 -268004999 -3236062323 9 10 -213902155 -14404663123 15 15 -477330162 -353460903 17 18 445738245 49438255323 14 15 -332825730 -744083181 -436280582 266778091 461399977 -4821555233 12 19 -131573473 -394996565223 2 19 262040665 -2305141401 -116833906 -30281224623 17 19 -218266171 -28676231021 193663860 120777203222221 -413359584 -2449632481 -49181992 -1347564161 489223252 2025583753 5 8 326145885 -17572593321 -411069937 2654481101 226116145 -3125372343 13 16 -4619795 18179486821 258486163 1279375343 13 18 -292737429 29081638123 2 7 -282639177 3646615423 13 16 -273224645 231257074221 411231241 -5111300462223 10 12 -52581597 -2452981191 470533397 -1427100193 10 11 -534438180 2580591641 350018561 -1250356293 6 9 -385443190 -970803893 2 2 81692243 3715502893 14 14 221665901 -2150808601 -288269878 3263549493 4 5 447208794 5282451183 7 16 -209269094 -1037897061 51987347 231428343 1 4 169755785 -1989566861 -297257733 4818436161 -380322985 -4182748923 19 19 -377436123 -47216511 -524425079 -2451954523 3 5 -171697284 -3256044983 3 17 204714106 48364493721 -342570415 5060756643 13 16 -533253187 -1775211701 495987863 4974961751 206599171 -248885463 14 18 -333154243 3611102783 2 13 485120367 -862873693 15 17 171801498 321253538221 494596906 653928903 10 20 -378894063 -3986634453 11 17 423986703 -35347330223 18 20 -236355825 36273024621 -215475302 -33248058921 -302717777 3180284373 7 13 -356348843 1262347391 281749882 -5068979581 485587745 519880371 534780584 2150450611 466786129 6507765821 -30110128 -823529003 19 19 -53763197 -3479994483 6 15 160743457 -5052274423 5 11 -87893180 -5156764263 13 23 -107884346 2136127403 17 22 385371610 1847190691 338977232 -4626334033 5 22 -514532933 -401962631223 16 16 -116063717 -5177840151 248796361 35023178621 184914340 -2404239923 18 24 -230223770 -2488031823 14 16 -337016898 5098760723 1 7 -219822213 819774221 335640187 13911338223 13 20 -432773410 -15959900323 8 15 391940406 38268492021 -102557202 1673535921 -388880152 -1837234473 2 11 457395314 -4206372621 -245402424 47678107221 74816999 -4527077411 -210185996 5158365801 -78859392 -27985289223 10 19 133401539 -5063376823 4 22 -80994098 -2407525173 22 24 488586762 10606579421 -408949523 273218432223 14 16 275001702 -455201455221 82806162 2000452353 14 15 191299424 1285357221 -117299162 -3601702341 -233036577 -2765775061 279112690 -22430103921 -316920227 4621893333 12 13 -71726056 4984592951 -220665483 2733852401 439003498 11241358021 -179476915 -3585130001 164337467 -50206424023 19 22 -470174895 3206264333 13 18 412500216 5164287163 2 6 319050784 -30335343321 452762381 22484761323 11 22 -118458100 50861580//出错点1 -58637075 3413167801 -357279237 -1538464733 11 12 -264786006 4295702003 17 24 -196930970 -3147443283 3 22 -78128509 -16951140521 -458924878 -203114185221 275297493 46998455623 24 24 -389380958 -520920521 6239270 4024140151 455015012 -4858331391 311268073 5215816262221 -356285203 189632015223 3 5 265932430 6602947621 501282320 4148016423 4 11 360026198 36449551 319477939 -3360025691 -441329206 1293497451 -344304435 16348690621 6097006 23966368123 2 9 395773258 4153134071 -331941189 -3600948471 -58328393 358860433 7 18 -524301686 -2448900881 433018184 -3125147603 5 20 58275868 2342750233 5 11 475902361 -2844243573 23 23 231799568 625894321 223837799 -1497891943 5 12 -43777946 40077455923 12 25 -366305974 -4643640681 -513199523 62859911 -535775391 -4480076921 178973484 174348423 24 31 -39054585 4522312631 298401797 2421864063 21 31 451102252 1539695283 5 11 312462812 -2224313923 16 19 -77022992 4657547933 12 24 111700028 200590161221 -269470699 5304900513 17 29 451785610 -1907390531 373199640 -3709690923 19 20 -32466381 4298936461 -380150207 -2598604973 24 32 508709698 -2767868141 128413002 5032506181 -160326699 4470457692221 448413215 -2596496423 8 8 530276243 -3114939891 -498712802 -1253153153 31 33 328545289 414918233 28 33 -296798517 228682705221 195065905 -2899570361 429334063 917633181 317361626 5294230983 22 30 86286306 -29671881723 24 25 369272628 2465520951 181146055 2658414181 225072882 198499045221 -51261255 -4635025192223 3 21 295018766 -2443417471 106864898 602879373 29 30 -106608406 -5263571201 -44996381 -5139541223 7 28 -263844108 -3738255543 29 32 223588829 4475890081 289588715 81256220221 436674040 627627003 4 25 -101165922 -319775826223 27 27 -231058411 -2079634163 14 25 467957671 14748051221 -115572921 1013263083 2 26 343343169 -665508361 486329011 -103551730221 70352544 503843021 16066435 4064419941 -531704767 -1572006353 31 31 27388213 2842665503 29 29 297750610 -2482049213 5 31 -308864785 1723972083 13 14 331541216 -193286888223 24 27 501127960 52365897921 353511125 -37546891521 397400908 -465972458221 508541302 -3065519103 23 25 324393153 -46977208523 9 23 103692053 -266198450221 -44089300 -26370218323 11 23 -354993314 3377777871 -290203118 -289866883223 1 21 -134604384 209431093221 65641285 -5019425373 6 12 -157956152 -3944528653 12 21 -254379399 32736694123 8 18 -465685781 -2699289381 -192317913 34100193921 -216695099 -456122393 8 13 422697075 -138935141223 20 21 59684186 42590537421 285749291 7770078421 92741914 4244690001 298595966 -50188235923 6 11 -114661739 4695061183 2 4 52516147 -322951171221 47561533 9055645121 234372061 2996927743 18 20 -390759428 956270783 3 4 386552012 2596350511 -212718600 -751180921 383962993 688046881 416828651 39687053221 367032632 -532553503 6 13 351302843 3112714093 10 18 133602418 111125115221 276418464 -2479942271 207047181 -2774342991 84302835 -992562631 342578192 2136344123 5 22 -373021970 -3746365291 -145505314 4628639961 197251816 4424467043 20 21 -312437199 26356616223 18 18 -52143889 -1645218593 17 19 -93318086 -5365371851 49464969 -26346955823 13 15 118524409 2964088813 15 23 -160219524 -27689361921 480329058 52606874521 501957021 -5347956281 385251120 4319436313 17 19 41231683 41885614523 25 25 -436276206 -2359659881 -141122538 3240172721 40952015 3579135251 -87776635 -3297638373 11 15 -439155588 -3050166511 -45764677 463122593 29 29 158721831 1711086501 -302302799 -225167471223 26 27 506554433 832000873 8 11 -31229244 -2469079341 -91441912 -4006511582223 11 16 -151598078 39551736223 17 20 -477613984 16090865023 11 23 -56227830 1061762961 -518113529 -135317909223 2 17 -233639996 2975324982221 215112927 2524375021 270137471 2528238801 -515813846 3738982571 -206676234 4188523931 37115455 2925096563 1 13 151599620 48805758321 -193718312 3207260193 13 22 204679845 -259750137223 16 21 43459654 -49994134221 253846205 31254485621 144082578 -2115664963 22 22 430068983 604347801 498224920 -4861626963 18 18 431724401 -2179495091 7578475 -4566190901 -132963711 133164341 -352285260 32225708523 9 20 -461796755 4490893381 103596402 591540343 18 25 -441417714 -928815131 -343373721 1708845681 -495059956 -2854615251 -9400281 4299830341 279667213 -828805793 20 23 -4703971 -3516256161 -60707300 -20263782223 6 30 236926728 -178601822223 23 28 169175490 17789533423 25 26 189485754 -3023037651 85907658 -259864383 9 24 -217979484 -797519801 291588655 -1994578141 -18483313 -2005796701 -149253945 -3994682381 422934767 -4332065591 493527178 -4548885521 52665680 21610788023 4 4 194006190 3669867331 255063099 -43172156923 6 7 -388309449 -3570812863 4 27 121132736 159530742223 17 25 13021256 2623272851 -39610933 -831884383 14 22 243007959 -49924809421 -468176261 1262159031 -427377949 1705259991 -479755650 -10253135821 -281145367 40636677323 16 33 516304506 -2506961223 6 26 418355154 -50941969222222221 405711007 -29378643523 9 21 -506598069 4713605773 24 24 -159954511 41742659723 13 22 -223689184 3847900723 12 15 -533414943 -2753689503 14 20 -316403588 2995018363 3 21 289915756 -2985455002221 -521502626 -46261900522221 -9441101 -4016875721 287245170 48556810222223 7 11 3648065 2036356723 4 13 -168516326 -4598893583 9 15 -201927406 -28559047823 13 13 456663596 5099222891 -240671144 2078678313 13 15 249243197 -2246548531 163531374 240596131221 408148572 4742017013 9 15 -171633896 -4742757281 -386759041 -4454846963 11 14 135060212 -9625860621 -116995712 -15261775422221 -458456169 330595029221 -380509201 3787406933 11 11 -121887960 -34388547623 7 7 -326967209 22707298223 7 8 505086049 -1931443671 427143112 2846269751 -276949537 506131411 506191153 478643855223 6 6 -261727136 -33367864121 -395103586 -37719591321 -29148269 507527706223 8 8 -197548691 69816831 -309244790 2380149471 -480190579 -520703913 4 5 5856902 -2144656781 7870533 -2466830621 388112984 4158510823 8 13 315579513 -134892201221 496770208 382442641 346907818 30203703421 -502822672 -1811444271 -357997482 -2729605531 -122253287 44988489721 -253669339 1155338253 3 8 -75252798 39850611921 477666252 -4746096211 528388339 -2783208611 -445429356 2494933463 12 12 393389059 -4460640983 7 8 -203847596 -4219818433 9 12 516657702 61968423 9 9 -333442921 57810927221 261907112 5195493281 -158588189 293207072221 200207824 5036518693 9 10 11628582 -1438059551 -68930952 -36563675823 6 11 269885256 -3522291273 13 16 42309603 821526311 -136799854 915735833 10 12 -416602605 -5263038711 281528867 834969453 17 18 -273350192 -2165724882221 -414134917 5590990721 -76515632 331237484223 14 14 139106988 1770395283 6 9 -455560918 15469817223 1 11 -245615526 -5004386181 57811940 -28477641021 454845492 -60718183 13 13 476529650 7954065123 5 5 399288642 -937739673 4 7 291884485 3200967421 535327790 -16546597721 338023686 1841429681 -115072543 3539543043 5 9 -425544609 1567804933 3 13 264562221 39694637523 6 12 75987482 5318095723 5 11 327082029 -441198951 -98915206 -276253573 6 6 -182034329 -313354077223 12 12 322519032 -209560731 96917498 -4915289271 313793468 1501021253 6 14 -268057680 40244859721 5529445 -1209913821 -460532857 14237247920