【p1880】石子合并

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1880

1.

先从线性的开始吧。

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。
样例：
[输入]
3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18
[输出]
9
239

由于是相邻两个进行合并，贪心算法并不是最优的算法（比如第二组）。
可以用区间DP来解决。
状态：设f[i][j]表示从第i堆到第j堆得石子中所需的最小代价
决策：在区间[i,j)中枚举一个k，则f[i][j] = min(f[i][k] + f[k+1][j] + s[i][j]);
其中s[i][j]表示这段区间的石子数。
用i枚举上界，用l来枚举区间长度，那么j = i + l;
k来枚举区间中选定的那一堆。
时间复杂度为O（n^3）

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdio>#define N 50#define INF 100000using namespace std;inline int read(){       char c;       int res,flag = 0;       while((c = getchar())>'9'||c<'0')                if(c=='-')flag = 1;       res = c - '0';       while((c = getchar())>='0'&&c<='9')       res =(res<<3)+(res<<1) + c - '0';       return flag?-res:res;}int sum[N+1];int f[N][N];int main(){    int n = read();    sum[0] = 0;    for (int i =1;i<=n;i++){        int x;        x = read();        sum[i]  = sum[i-1] + x;     }    memset(f,0,sizeof(f));    for (int l=2;l<=n;l++){        for (int i=1;i<=n-l+1;i++){//要加1            int j =i + l -1 ;            f[i][j] = INF;            for (int k =i;k<j;k++)                f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]);        }    }    cout<<f[1][n];}

可以用平行四边形优化来降低时间复杂度。
来自百度百科的解释

如果对于任意的a1≤a2 < b1≤b2，
有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，那么m[i,j]满足四边形不等式。

设m[i,j]表示动态规划的状态量。
m[i,j]有类似如下的状态转移方程：
m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)
m满足四边形不等式是适用这种优化方法的必要条件
对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。
通常的动态规划的复杂度是O(n^3)，我们可以优化到O(n^2)
定义s(i,j)为函数m(i,j)对应的使得m(i,j)取得最小值的k值。
我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]
那么改变状态转移方程为：
m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])
复杂度分析：不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，
(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n
所以总复杂度是O(n)
以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。
解决这类问题的大概步骤是：
证明w满足四边形不等式，这里w是m的附属量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件
证明m满足四边形不等式
证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

w[a,c]+w[b,d]<=w[b,c]+wa,d 就称其满足凸四边形不等式
或打表观察w[i][j+1]-w[i][j]关于i的表达式，如果关于i递减，则w满足凸四边形不等式
如果一个函数w[i][j]，满足 w[i’][j]<=w[i][j’] i<=i’<=j<=j’ 则称w关于区间包含关系单调
如果w同时满足四边形不等式和区间单调关系，则dp也满足四边形不等式

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2.

如果石子是环形排列的，由于k是我们枚举的，可以保证在1到n里，但是K+1和j可能会超出范围。因此f[i][j] = min(f[i][k]+f[(i+k+1)%n][j-k-1]+sum[i][i+j]),其中对于sum[i][i+j]

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参考：http://blog.csdn.net/bnmjmz/article/details/41308919
http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18039073
https://www.luogu.org/wiki/show?name=%E9%A2%98%E8%A7%A3+P1880