算法复杂度小记

本文主要书写了本人对于算法复杂度的一些理解，并辅以一些例子进行说明

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算法复杂度的概念

复杂度的计算理念

• 我们不对某个算法进行精确的分析，只需要初略地知道它的增长趋势就可以了。
• 平常我们分析算法复杂度的时候，通常有分析最坏情况和平均情况两种选项，由于最坏情况易于分析，所以我们一般分析算法复杂度的最坏情况。

复杂度的渐进表示法

• 上界

T(n)=O(f(n))

上述式子表示当N足够大的时候，f(n)函数是T(n)的上界。

• 下界

T(n)=Ω(h(n))

上述式子表示当N足够大的时候，h(n)函数是T(n)的下界。

• 上界和下界同时成立

T(n)=Θ(g(n))

上述式子表示当N足够大的时候，g(n)函数同时是T(n)的上界和下界。

• 在上面三个式子中，T(n)表示的都是某个算法的时间复杂度，它们也可以应用在算法的空间复杂度S(n)上。
• 一个算法的上界和下界函数可能有无穷多个，为了和现实的情况更贴合，我们在使用上述式子表示算法的复杂度的时候，通常使用最小的上界和最大的下界。

复杂度的增长趋势比较

logN<n<nlogN<n2<n3<...<O(2n)<n!

复杂度计算理念的进一步说明

由于我们分析算法复杂度的时候主要是分析它的增长趋势，所以我们只需要分析算法复杂度的某个主要趋势即可。

例一

有时间复杂度计算公式，

T(n)=C1∗n2+C2∗n

在N进行增长的时候，n2对于T(n)增长的影响是远远大于n的，所以我们就可以忽略掉n，认为

T(n)=C1∗n2

或者记做

T(n)=O(n2)

即当N很大的时候，n2为T(n)的上界函数。

例二

当我们谈论时间复杂度logN的时候，我们并没有说明logN是以2，以10还是以e为底的。这是因为当N很大的时候，log2N和log10N它们之间相差了常数倍，logN的增长趋势是大于常数的增长趋势的，所以我们可以忽略掉底数的差异，直接以logN 代指一种增长趋势。

复杂度分析小窍门

有两个时间复杂度T1和T2，

T1(n)=O(f1(n)),T2(n)=O(f2(n))

1.  T1(n)+T2(n)=max(O(f1(n)),O(f2(n)))

2.  T1(n)∗T2(n)=O(f1(n)∗f2(n))

根据公式1，我们可以得到当T(n)是关于n的k阶多项式的时候，T(n)=Θ(nk)

于是可得:

• 一个for循环的复杂度 = 循环体的复杂度 * 循环次数

• 一个if-else的复杂度 = max(条件判断式的复杂度，if分支的复杂度，else分支的复杂度)