容斥原理
来源:互联网 发布:上海兴安得力软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 17:38
解释
用于解决在知道多个元素的交集时,求它们的并集,例如求多个相重叠的圆的总面积。
方法
以求多个圆的总面积为例:
在求上图面积时,不难发现方法为三个圆面积相加减去重叠两次的,再加上重叠了三次的。
在求n个圆的时候,面积为A,B……等,AB表示A和B的交集,可以这么想:
先求仅被一个圆覆盖的部分,为A+B+C……。
而AB等两个圆的重叠部分被计算了2次。
ABC等三个圆的重叠部分被计算了3次。
……
经过计算可以发现:
删去元素个数
因而可以发现在计算m个圆时,n个圆的交集被计算了C(n,m)次,也可以理解为n个园中任意选择m个都会被计算一次。
而根据组合数的性质:
C(n,1)-C(n,2)+C(n,3)……C(n,n)的值为1.
故在例子中的公式为f(1)-f(2)+f(3)……
而在具体题目中f(i)的系数未必为1,据题意而定。
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