C++算法之二叉树

1、BST树

       即二叉搜索树：

       1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；

       2.所有结点存储一个关键字；

       3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

    

       BST树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

       如果BST树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变BST树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；

       如：

      

   但BST树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：

   右边也是一个BST树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的

树结构索引；所以，使用BST树还要考虑尽可能让BST树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就

是所谓的“平衡”问题；      

2、AVL树

算法：http://blog.csdn.net/whucyl/article/details/17289841

定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:
  （1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;
  （2）左右子树仍然为平衡二叉树.
平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.
平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。

AVL树属于二叉查找树，二叉查找树的查找和插入操作在最坏情况下复杂度为O(N)，而AVL树最坏时仍然为O(lgN)。

AVL树的插入和删除操作需要借助于节点的旋转来保持树的高度平衡。AVL树平衡被破坏时采用的调整规则： 
（1）单旋转：用来修正外侧插入导致的不平衡。 
（2）双旋转：用来修正内侧插入导致的不平衡。可以利用两次单旋完成。

节点的插入结果可以分为四种情况。节点插入之后如果AVL树的平衡遭到破坏，那么，令X为平衡状态被破坏的节点中最深（下方）的节点。

1. 插入点位于X的左子结点的左子树——左左；（外侧插入，单旋）2. 插入点位于X的左子结点的右子树——左右；（内测插入，双旋）3. 插入点位于X的右子结点的左子树——右左；（内测插入，双旋）4. 插入点位于X的右子结点的右子树——右右；（外侧插入，单旋）
1
2
3
4

3、红黑树（RB-tree）

算法：http://blog.csdn.net/whucyl/article/details/17254801

红黑树上每个结点内含五个域，color，key，left，right，p。如果相应的指针域没有，则设为NIL。
一般的，红黑树，满足以下性质：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

由红黑树规则知：新增节点必须为红色；新增节点之父节点必须为黑色。

当新增节点根据二叉搜索树的规则到达其插入点，却未能符合红黑树的规则时，就必须调整颜色并旋转树形。

为了更大的弹性，SGI将RB-tree迭代器实现为两层。RB-tree迭代器，但不具备随机定位功能，其提领操作和成员访问操作与list十分近似，较为特殊的是其前进和后退操作。前进操作调用了基层迭代器的increment()，后退操作调用了基层迭代器的decrement()。

RB-tree有定义专属的空间配置器，每次配置一个节点。RB-tree的构造方式有两种，一种是以现有RB-tree复制一个新的RB-tree，另一种是产生一颗空树。