C++ 编写 动态规划解决0-1背包问题

0 - 1背包问题：给定n种商品和一个给定固定容量的背包。物品 i 的重量是W[ i ]，价值为V[ i ]，背包的容量为C。问应当如何选择装入背包中的物品，是的装入背包中的物品的总价值最大？

注意：0 - 1背包的前提是对于同一个物品，要么放，要么不放，不能把物品 i 放入到背包多次，也不能只装入部分的物品 i 。因此该问题称为 0 - 1问题。

那么我们对于物品的选择有两点需要注意：①不能放不进背包，c < s[ i ]，也就是背包的体积比较小。②能放入背包，拿的话这个物品就会给背包增加价值，不拿的话就会有其他情况。

那么最笨的方法就是穷举法，然后去挑选。但是很明显，这个问题是有最优子结构的，所以我们想到了用动态规划来考虑这个问题。设W = {w1,w2,...,wk}是全局最优解，则M = {w1,...,w(k-1)}一定是 c-s[ k ] 的最优解。

设V[i,j]表示将前 i 件物品放入到容量为 j 的背包中的最大价值。

那么就存在如下关系：

经过推导，可以得到0 - 1背包的状态转化方程：

因此可以得到代码：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;/* 0-1 背包问题*/int tableTwo[10][100];int flag[10] = { -1 };int KnapsackTwo(vector<int> v, vector<int> w, int c, int n) {//此方法从n->1计算 。自底向上，自左向右   int jMax = min(w[n] - 1, c);for (int j = 0; j<jMax; j++)tableTwo[n][j] = 0;//j<当前背包容量或者当前物品重量时，tableTwo[n][j]=0;   for (int j = w[n]; j <= c; j++)tableTwo[n][j] = v[n];//当前背包容量可以装得下时， tableTwo[n][j]=v[n];  for (int i = n - 1; i>1; i--) {jMax = min(w[i], c);for (int j = 0; j <= jMax; j++)tableTwo[i][j] = tableTwo[i + 1][j];for (int j = w[i]; j <= c; j++)tableTwo[i][j] = max(tableTwo[i + 1][j], tableTwo[i + 1][j - w[i]] + v[i]);//当前背包容量装得下，但是要判断其价值是否最大，确定到底装不装   }tableTwo[1][c] = tableTwo[2][c];//先假设1物品不装   if (c >= w[1])tableTwo[1][c] = max(tableTwo[1][c], tableTwo[2][c - w[1]] + v[1]);//根据价值，判断到底装不装   return tableTwo[1][c];//返回最优值   }void Traceback(vector<int> w, int c, int n) {//根据最优值，求最优解   for (int i = 1; i<n; i++) {if (tableTwo[i][c] == tableTwo[i + 1][c])flag[i] = 0;else {flag[i] = 1;c -= w[i];}}flag[n] = tableTwo[n][c] ? 1 : 0;}int main(){int num;//商品数量int sum;//背包可容纳总重量cin >> num >> sum;vector<int> weight;//商品的重量vector<int> price;//商品的价格cout << "请依次输入物品的重量：";weight.push_back(0);price.push_back(0);for (int i = 0; i < num; i++){int tmp1;cin >> tmp1;weight.push_back(tmp1);//把重量的数据存入到数组中}cout << endl;cout << "请依次输入物品的价格：";for (int i = 0; i < num; i++){int tmp2;cin >> tmp2;price.push_back(tmp2);//把价格的数据存入到数组中}cout << endl;cout << "总价值最大为：" << KnapsackTwo(price, weight, sum, num) << endl;Traceback(weight, sum, num);cout << "最优值的解：";for (int i = 1; i<num + 1; i++)cout << flag[i] << " ";cout << endl;system("pause");   return 0;}