51nod 1503 猪和回文【DP】

Description

一只猪走进了一个森林。很凑巧的是，这个森林的形状是长方形的，有n行，m列组成。我们把这个长方形的行从上到下标记为1到n，列从左到右标记为1到m。处于第r行第c列的格子用(r,c)表示。

刚开始的时候猪站在(1,1),他的目标是走到(n,m)。由于猪回家心切，他在(r,c)的时候，只会往(r+1,c)或(r,c+1)走。他不能走出这个森林。

这只猪所在的森林是一个非同寻常的森林。有一些格子看起来非常相似，而有一些相差非常巨大。猪在行走的过程中喜欢拍下他经过的每一个格子的照片。一条路径被认为是漂亮的当且仅当拍下来的照片序列顺着看和反着看是一样的。也就是说，猪经过的路径要构成一个回文。

数一数从(1,1)到(n,m)有多少条漂亮路径。答案可能非常巨大，请输出对 109+7 取余后的结果。

样例解释：有三种可能

题解

这是一类叫做多线程DP的问题(类似于二取方格数)。由于要求回文，所以直接DP是非常困难的，可以考虑从两端同时走，在中间累计答案，定义f[k][i][j]表示现在走了k步，头走到第i行，尾走到第j行的方案数，由于知道步数和起点，所以列数是可以直接计算的，最后统计答案的时候注意一下分类讨论n+m的奇偶性。

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define maxn 506#define tt 1000000007using namespace std;inline char nc(){    static char buf[100000],*i=buf,*j=buf;    return i==j&&(j=(i=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),i==j)?EOF:*i++;}inline int _read(){    char ch=nc();int sum=0;    while(!(ch>='0'&&ch<='9'))ch=nc();    while(ch>='0'&&ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=nc();    return sum;}int n,m,ans,f[2][maxn][maxn];char map[maxn][maxn];int main(){    freopen("pig.in","r",stdin);    freopen("pig.out","w",stdout);    n=_read();m=_read();    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=1;j<=m;j++)map[i][j]=nc();        nc();    }    if(map[1][1]==map[n][m])f[1][1][n]=1;    int K=(n+m)/2;    for(int k=2;k<=K;k++){        memset(f[k&1],0,sizeof(f[k&1]));        for(int i=1;i<=n;i++)         for(int j=1;j<=n;j++){            int y1=k+1-i,y2=n+m-k+1-j;            if(y2<0||y2>m)continue;            if(map[i][y1]!=map[j][y2])continue;            (f[k&1][i][j]+=(f[1-(k&1)][i][j]+f[1-(k&1)][i-1][j])%tt+(f[1-(k&1)][i][j+1]+f[1-(k&1)][i-1][j+1])%tt)%=tt;         }    }    if((n+m)&1)for(int i=1;i<=n;i++)(ans+=(f[K&1][i][i]+f[K&1][i][i+1])%tt)%=tt;else               for(int i=1;i<=n;i++)(ans+=f[K&1][i][i])%=tt;    printf("%d\n",ans);    return 0;}