【BZOJ】1042 [HAOI2008]硬币购物 组合数学（容斥）

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好像容斥原理在OI的应用挺广泛的啊……先奶一口再说

这题的容斥方法用的非常巧妙，定义f[i]表示价值为i的付款方案数，其中所有硬币的数量无限。那么我们直接做一遍完全背包即可，时间复杂度O(1e5)。

然后就是重点：考虑容斥，每一次询问的答案ans=S−S1−S2−S3−S4+S1,2+S1,3+S1,4+S2,3+S2,4+S3,4−S1,2,3−S1,2,4−S1,3,4−S2,3,4+S1,2,3,4，其中Sp表示用集合p中的硬币组成{1.超过每种硬币数量限制；2.价值和为给定的sum}的方案数。

假设第一种硬币超过数量限制，也就是用到d1+1枚第一种硬币，剩余的硬币可以随意分配。如果sum−(d1+1)×c1≥0，方案数就是f[sum−(d1+1)×c1]，否则方案数为0。其余情况类似，只要对于每次询问用24的时间询问一下就行了。

附上AC代码：

#include <cstdio>using namespace std;typedef long long ll;const int n=4;int c[5],d[5],m,x;ll f[100010],ans;inline void so(int g,int k,int sum){    if (sum<0) return;    if (g>n) return (void)(ans-=(k?f[sum]:-f[sum]));    return so(g+1,k^1,sum-(d[g]+1)*c[g]),so(g+1,k,sum);}int main(void){    for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&c[i]);    f[0]=1;    for (int i=1; i<=n; ++i)        for (int j=c[i]; j<=100000; ++j)            f[j]+=f[j-c[i]];    scanf("%d",&m);    while (m--){        for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&d[i]);        scanf("%d",&x),ans=0,so(1,0,x),printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}