POJ 3525 Most Distant Point from the Sea (半平面交求多边形中可以放入最大的圆的半径)

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题意：求多边形内到边上距离最远的距离。可以转化为求多边形内可以放入的最大的圆的半径。

前置技能： 半平面交求多边形中可以放入的最大的圆的半径。关于半平面交的知识可以参考我的博客：半平面交模板原理及应用。

思路：可以放入的最大圆的圆心（不是圆本身）一定在多边形的核内，别问我为什么，鬼才知道……我们可以假设，最大圆半径为 r 。如果我们可以将多边形的每条边向内推进 r 长度的距离，这时候可以想见多边形里面放不开这个圆了，并且圆心所在的多边形的核也一定是变成了一个点。否则就多边形的边就还可以向内推进，这个圆就不是最大的了。

当我们不知道最大圆半径的时候，我们可以用二分的方法求半径的值，如果对于当前假设的圆半径 r ，每条边向内推进 r 距离后，发现多边形的核不存在了，则说明当前圆半径太大了，反之，就是圆半径小了，用二分找到最大的圆半径即可。

代码：

给出两种代码，第二种是kuangbin模板上的，适用度更高，可以用作比赛时的模板。

//点是逆时针顺序给出的//语言选择 c++  /*我们平移凸多边形的各个边，直到核不存在了，平移的距离就是最大内切圆的半径。*/#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<math.h>#define eps 1e-10#define MAXN 110using namespace std;int n,tol,bot,top; //bot和top指向双端队列的底部和顶部 int dq[MAXN],order[MAXN]; //双端队列和存储排序后点的下标 struct point{ //点 double x,y;} p[MAXN];struct vct{ //向量（直线）point start,end;double angle; //极角 } v[MAXN],tmp[MAXN];int dbcmp(double k){ //判断为0，还是为正负 if(fabs(k)<eps) return 0;return k>0? 1:-1;}double Multi(point p0,point p1,point p2){ //向量 p0p1 和 p0p2 相乘 return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);}int cmp(int x,int y){ //排序的比较函数 int d=dbcmp(v[x].angle-v[y].angle);if(!d) return dbcmp(Multi(v[x].start,v[y].start,v[y].end))>0; //大于0取向量左半部分为半平面，小于0，取右半部分  return d<0;}void addline(double x1,double y1,double x2,double y2){ //增加一个向量（直线） v[tol].start.x=x1;v[tol].start.y=y1;v[tol].end.x=x2;v[tol].end.y=y2;//atan2是求原点到(x,y)的直线与x轴的夹角，比atan稳定 v[tol].angle=atan2(y2-y1,x2-x1);//order[tol]=tol;tol++;}void GetIntersect(vct v1,vct v2,point &p){ //获取交点并返回给 p double dot1,dot2;dot1=Multi(v1.start,v2.end,v1.end);dot2=Multi(v1.start,v2.start,v1.end);p.x=(dot1*v2.start.x-dot2*v2.end.x)/(dot1-dot2);p.y=(dot1*v2.start.y-dot2*v2.end.y)/(dot1-dot2);}int Judge(vct v0,vct v1,vct v2){ //判断 v1 和 v2 的交点 pt 在半平面 v0内 point pt;GetIntersect(v1,v2,pt);return dbcmp(Multi(pt,v0.start,v0.end))<0;//大于0 pt在 v0 的左面，小于0 pt 在 v0 的右面//如果 pt 在半平面 v0 内则返回真 }int HalfPlaneIntersection(){ //求解半平面交 int i,j;for(i=0;i<tol;i++) order[i]=i;sort(order,order+n,cmp); //极角排序 for(i=1,j=0;i<tol;i++) //排除极角相同的 if(dbcmp(tmp[order[i]].angle-tmp[order[j]].angle)>0)order[++j]=order[i]; n=j+1; //个数 dq[0]=order[0]; //开始时入队两条直线 dq[1]=order[1];bot=0;top=1;for(i=2;i<tol;i++){ //如果双端队列底端或顶端两个半平面的交点在当前半平面之外，则删除 while(bot<top&&Judge(tmp[order[i]],tmp[dq[top-1]],tmp[dq[top]]))top--;while(bot<top&&Judge(tmp[order[i]],tmp[dq[bot+1]],tmp[dq[bot]]))bot++;dq[++top]=order[i]; //将当前半平面加入队列的顶端 }while(bot<top&&Judge(tmp[dq[bot]],tmp[dq[top-1]],tmp[dq[top]])) top--;while(bot<top&&Judge(tmp[dq[top]],tmp[dq[bot+1]],tmp[dq[bot]])) bot++;if(top-bot<=1) return 0;else return 1;}double GetDis(point a,point b){return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));}void ChangePolygon(double h){ //将所有边往内缩进 h距离 int i;double dx,dy,len;for(i=0;i<tol;i++){len=GetDis(v[i].start,v[i].end);dx=(v[i].start.y-v[i].end.y)/len*h;dy=(v[i].end.x-v[i].start.x)/len*h;tmp[i].start.x=v[i].start.x+dx;tmp[i].start.y=v[i].start.y+dy;tmp[i].end.x=v[i].end.x+dx;tmp[i].end.y=v[i].end.y+dy;tmp[i].angle=v[i].angle;}}double BSearch(){ //二分搜索 double l=0,r=20000,mid;while(l+eps<r){mid=(l+r)/2;ChangePolygon(mid); //将所有边往内缩进 mid距离 if(HalfPlaneIntersection()) l=mid; //如果存在半平面交else r=mid;}return l;}int main(){int i;while(~scanf("%d",&n)&&n){for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);tol=0;for(i=0;i<n-1;i++) addline(p[i].x,p[i].y,p[i+1].x,p[i+1].y);addline(p[i].x,p[i].y,p[0].x,p[0].y);printf("%.6lf\n",BSearch());}return 0;}

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<math.h>#define eps 1e-8#define PI acos(-1.0)#define MAXN 110using namespace std;int n;int sgn(double x){ //符号函数if(fabs(x) < eps) return 0;if(x < 0) return -1;else return 1;}struct Point{ //点 double x,y;Point(){}Point(double _x,double _y){x = _x; y = _y;}Point operator -(const Point &b)const{return Point(x - b.x, y - b.y);}double operator ^(const Point &b)const{ //叉积return x*b.y - y*b.x;}double operator *(const Point &b)const{ //点积return x*b.x + y*b.y;}};struct Line{ //向量 Point s,e; //两点 double k; //斜率 Line(){}Line(Point _s,Point _e){ //构造s = _s; e = _e;k = atan2(e.y - s.y,e.x - s.x);}Point operator &(const Line &b)const{ //求两直线交点Point res = s;double t = ((s - b.s)^(b.s - b.e))/((s - e)^(b.s - b.e));res.x += (e.x - s.x)*t;res.y += (e.y - s.y)*t;return res;}};Line Q[MAXN];Point p[MAXN]; //记录最初给的点集Line line[MAXN]; //由最初的点集生成直线的集合Point pp[MAXN]; //记录半平面交的结果的点集//半平面交，直线的左边代表有效区域bool HPIcmp(Line a,Line b){ //直线排序函数if(fabs(a.k - b.k) > eps)return a.k < b.k; //斜率排序//斜率相同我也不知道怎么办return ((a.s - b.s)^(b.e - b.s)) < 0;}void HPI(Line line[], int n, Point res[], int &resn){ //line是半平面交的直线的集合 n是直线的条数 res是结果//的点集 resn是点集里面点的个数int tot = n;sort(line,line+n,HPIcmp);tot = 1;for(int i = 1;i < n;i++)if(fabs(line[i].k - line[i-1].k) > eps) //去掉斜率重复的line[tot++] = line[i];int head = 0, tail = 1;Q[0] = line[0];Q[1] = line[1];resn = 0;for(int i = 2; i < tot; i++){if(fabs((Q[tail].e-Q[tail].s)^(Q[tail-1].e-Q[tail-1].s)) < eps ||fabs((Q[head].e-Q[head].s)^(Q[head+1].e-Q[head+1].s)) < eps)return;while(head < tail && (((Q[tail]&Q[tail-1]) -line[i].s)^(line[i].e-line[i].s)) > eps)tail--;while(head < tail && (((Q[head]&Q[head+1]) -line[i].s)^(line[i].e-line[i].s)) > eps)head++;Q[++tail] = line[i];}while(head < tail && (((Q[tail]&Q[tail-1]) -Q[head].s)^(Q[head].e-Q[head].s)) > eps)tail--;while(head < tail && (((Q[head]&Q[head-1]) -Q[tail].s)^(Q[tail].e-Q[tail].e)) > eps)head++;if(tail <= head + 1) return;for(int i = head; i < tail; i++)res[resn++] = Q[i]&Q[i+1];if(head < tail - 1)res[resn++] = Q[head]&Q[tail];}double dist(Point a,Point b){ //两点间距离    return sqrt((a-b)*(a-b));}void change(Point a,Point b,Point &c,Point &d,double p){ //将线段ab往左移动距离p,修改得到线段cd    double len=dist(a,b);    /*三角形相似推出下面公式*/    double dx=(a.y-b.y)*p/len;    double dy=(b.x-a.x)*p/len;    c.x=a.x+dx; c.y=a.y+dy;    d.x=b.x+dx; d.y=b.y+dy;}double BSearch(){ //二分搜索 double l=0,r=100000;    double ans=0;    while(r-l>=eps)    {        double mid=(l+r)/2;        for(int i=0;i < n;i++)        {            Point t1,t2;            change(p[i],p[(i+1)%n],t1,t2,mid);            line[i]=Line(t1,t2);        }        int resn;        HPI(line,n,pp,resn);        //等于0说明移多了        if(resn==0) r=mid-eps;        else l=mid+eps;            }    return l;}int main(){while(~scanf("%d",&n)&&n){for(int i = 0;i < n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);printf("%.6f\n",BSearch());}return 0;}