【bzoj2142】【礼物】拓展Lucas定理+孙子定理
来源:互联网 发布:淘宝网店转让 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 00:43
(上不了p站我要死了,侵权度娘背锅)
Description
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E
心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人
,其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某
个人在这两种方案中收到的礼物不同)。由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果。
Input
输入的第一行包含一个正整数P,表示模;
第二行包含两个整整数n和m,分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数;
以下m行每行仅包含一个正整数wi,表示小E要送给第i个人的礼物数量。
Output
若不存在可行方案,则输出“Impossible”,否则输出一个整数,表示模P后的方案数。
Sample Input
100
4 2
1
2
Sample Output
12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割,“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下:
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct,pi为质数。
对于100%的数据,1≤n≤109,1≤m≤5,1≤pi^ci≤10^5。
公式是很好想的,设sum=sigma(wi),则答案为C(n,sum) * C(sum,w1) * C(sum-w1,w2) * … * C(wi,wi)
但是考虑到数据范围,需要用Lucas定理,但是模数确实一个合数,怎么办呢?于是就去学了拓展Lucas定理。
1、
模数为合数,但可以唯一分解成多个质数的乘积。即M=p1^c1 * p2^c2 * … * pi^ci。分解出来的pi^ci与其他的因数互质,所以可以对每一个pi^ci求出组合数的值,再用孙子定理合并。
2、
现在问题转化为了如何求解C(n,m) mod pi^ci
首先C(n,m)可以写成阶乘形式:n!/(m!*(n-m)!) mod pi^ci
我们发现如果阶乘n!中的n大于pi^ci的话,模下来就是0,没有意义了。所以不能直接用阶乘+逆元来求解。考虑如果能将n!中的所有pi提出来,即将n!分解为 x*pi^ki,这样x部分就和pi^ci完全互质,就可以用逆元来求了。
3、
问题再转化,如何将 n! 分解为 x * pi^ki,即求出x与ki
举个例子:20! mod 3^2
20!=1*2*3*4*…*19*20
将3的倍数提取出来
= 1*2*4*…* 17*19*20*(3*6*9..*18)
=1*2*4*… * 17*19*20* 3^6 * (1*2*3..*6)
发现括号里的数又是阶乘,且恰好是[n/p](向下取整),所以递归调用即可。
对于前面的数:发现是以pi^ci为循环节同余的方程,即(1*2*…pi^ci-1)≡((pi^ci +1)*…(2*pi^ci)) (mod pi^ci),其中要去掉pi的倍数。这一部分就暴力算出循环节,快速幂。对于循环节之外可能有的数,也是直接暴力算即可。易证循环节长度和剩余部分长度是小于等于pi^ci的。
void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){ ll tmp=1; if(a==0) return ; for(int j=1;j<=min(pic[i],a);j++){ if(j%pi[i]==0) continue; tmp=tmp*j%pic[i]; } x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i]; for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+1;j<=a;j++){ if(j%pi[i]==0) continue; x=x*j%pic[i]; } k+=a/pi[i]; get(a/pi[i],i,x,k);}
所以现在问题就很清晰啦
拓展Lucas也没有想象中这么难嘛
#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define ll long long #ifdef WIN32#define RIN "%I64d"#else#define RIN "%lld"#endiftemplate <typename T>inline void read(T &res){ T k=1,x=0;char ch=0; while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')k=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();} res=k*x;}const int N=100000+5;ll p,n,m,w[6],sum=0;ll prime[N],cntp=0;bool notp[N];ll pi[N],pic[N],pik[N],cntc=0;void init(){ notp[1]=1; for(int i=1;i<=100000;i++){ if(!notp[i]) prime[++cntp]=i; for(int j=1;j<=cntp&&i*prime[j]<=100000;j++){ notp[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) break; } }}void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(b==0){ x=1,y=0;return; } ll x0,y0; exgcd(b,a%b,x0,y0); x=y0; y=x0-(a/b)*y0;}ll inverse(ll a,ll mod){ ll x,y; exgcd(a,mod,x,y); return (x%mod+mod)%mod;}ll power(ll a,ll b,ll mod){ ll rt=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) rt=rt*a%mod; return rt;}void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){ ll tmp=1; if(a==0) return ; for(int j=1;j<=min(pic[i],a);j++){ if(j%pi[i]==0) continue; tmp=tmp*j%pic[i]; } x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i]; for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+1;j<=a;j++){ if(j%pi[i]==0) continue; x=x*j%pic[i]; } k+=a/pi[i]; get(a/pi[i],i,x,k);}ll get_C(ll x,ll y,ll i){ ll x1=1,p1=0,x2=1,p2=0,x3=1,p3=0; get(x,i,x1,p1); get(y,i,x2,p2); get(x-y,i,x3,p3); ll rt=1; rt=x1*inverse(x2,pic[i])%pic[i]*inverse(x3,pic[i])%pic[i]; rt=rt*power(pi[i],p1-p2-p3,pic[i])%pic[i]; return rt;}ll C(ll x,ll y){ ll a; ll rt=0; for(int i=1;i<=cntc;i++){ a=get_C(x,y,i); rt=(rt+a*(p/pic[i])%p*inverse(p/pic[i],pic[i])%p)%p; } return rt;}void fenjie_p(){ ll tmp=p; for(int i=1;i<=cntp&&tmp!=1;i++){ if(tmp%prime[i]!=0) continue; pi[++cntc]=prime[i]; pic[cntc]=1,pik[cntc]=0; while(tmp%prime[i]==0){ pic[cntc]*=prime[i]; pik[cntc]++; tmp/=prime[i]; } }}int main(){ init(); read(p),read(n),read(m); for(int i=1;i<=m;i++) read(w[i]),sum+=w[i]; if(sum>n){ printf("Impossible\n"); return 0; } ll ans=1; fenjie_p(); ans=ans*C(n,sum)%p; for(int i=1;i<=m;i++){ ans=ans*C(sum,w[i])%p; sum-=w[i]; } printf(RIN"\n",ans); return 0;}
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