C++ 最长公共子序列

1. 子序列和子串的区别

简单理解就是子串是连续的，子序列是不连续的。

例如 abcaurssas，其中 acusa就是一个子序列，abca就是一个子串。

2. 动态规划求解最长公共子序列（LCS）

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS。

假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS， 我们观察到

• 如果xm=yn，则zk=xm=yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
• 如果xm≠yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

  c[i,j]=0i=0 or j=0

 c[i,j]= c[i−1,j−1]+1i,j>0 and  xi=yj

c[i,j]=max(c[i,j−1],c[i−1,j])i,j>0 and xi≠yj

二维数组C[i,j]即是最长公共子序列生成的过程，将C生成的过程逆过来即可以求出最长公共子序列。

具体的过程可以参考：

http://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607

3. 代码实现（此代码可以找出全部的公共子序列）

void FillCountArray(std::string &s1, std::string &s2, int **countArr) {int sizeX = s1.size();int sizeY = s2.size();for (int i = 1; i <= sizeX; ++i){for (int j = 1; j <= sizeY; ++j){if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {countArr[i][j] = countArr[i - 1][j - 1] + 1;}else {countArr[i][j] = std::max(countArr[i - 1][j], countArr[i][j - 1]);}}}}std::vector<std::string > results;void FindAllLCS(std::string &X, std::string &Y, int **countArr, int i, int j, std::string curRes) {while (i > 0 && j > 0){if (X[i - 1] == Y[j - 1]){curRes.push_back(X[i - 1]);--i;--j;}else{if (countArr[i - 1][j] > countArr[i][j - 1])--i;else if (countArr[i - 1][j] < countArr[i][j - 1])--j;else  {FindAllLCS(X, Y, countArr, i - 1, j, curRes);FindAllLCS(X, Y, countArr, i, j - 1, curRes);return;}}}std::reverse(curRes.begin(), curRes.end());results.emplace_back(curRes);}int main(){std::string X = "13456778";std::string Y = "357486782";int sizeX = X.size();int sizeY = Y.size();int **CountArray = new int *[sizeX + 1];for (int i = 0; i < sizeY; ++i){CountArray[i] = new int[sizeY + 1];}for (int i = 0; i <= sizeX; ++i){for (int j = 0; j <= sizeY; ++j){CountArray[i][j] = 0;}}FillCountArray(X, Y, CountArray);for (int i = 0; i <= sizeX; ++i){for (int j = 0; j <= sizeY; ++j){std::cout << CountArray[i][j] << " ";}std::cout << std::endl;}std::cout << std::endl;std::string rest;FindAllLCS(X, Y, CountArray, sizeX, sizeY, rest);for (int i = 0; i < results.size(); ++i){std::cout << results[i] << std::endl;}delete []CountArray;system("pause");return 0;}

4.最长公共子串

如果是求最长公共子串，则只需要将状态转移方程改为：

  c[i,j]=0i=0 or j=0

 c[i,j]= c[i−1,j−1]+1i,j>0 and  xi=yj

c[i,j]=0i,j>0 and xi≠yj

求解函数为：

int  FindMaxSubString(std::string &s1, std::string &s2, int **countArr) {int sizeX = s1.size();int sizeY = s2.size();int bg = 0;int st = 0;int ed = 0;for (int i = 1; i <= sizeX; ++i){for (int j = 1; j <= sizeY; ++j){if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {countArr[i][j] = countArr[i - 1][j - 1] + 1;if (countArr[i][j] > bg){bg = countArr[i][j];st = i - bg + 2;//代表起始位置ed = j - bg + 2;}}else {countArr[i][j] = 0;}}}return bg;}

5.参考文献

http://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607

http://www.cnblogs.com/en-heng/p/3963803.html

http://blog.csdn.net/alps1992/article/details/47923041

http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41596309