最长上升子序列（模板）

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最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）下面我们简记为：LIS。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，我们可以很轻松的看出来它的LIS长度为5。

但是如果一个序列太长后，就不能直接看出来了！

下面我们试着逐步找出答案。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len记录目前最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，表示当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时的Len = 1。

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，表示长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，同样这时的Len = 1。

接着，d[3] = 5，d[3] > B[1]，所以令B[1+1] = B[2] = d[3] = 5，表示长度为2的LIS的最小末尾是5，这时候B[1..2] = 1, 5，这时的Len ＝ 2。

接着，d[4] = 3，它正好夹在了1和5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，这时Len = 2。

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，这时的Len = 3。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4，同样这时Len = 3。

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，于是B[4] = 8，这时的Len = 4。

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，这时的Len = 5。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，这时的Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

最后我们发现：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)！

一般的情况下：

#include <cstdio>  #include <algorithm>  #include <cstring>  using namespace std;    int a[1007],dp[1007],n;    int LIS(int *a)  {      int i,j,ans,m;      dp[1] = 1;      ans = 1;      for(i = 2; i <= n; i++)      {          m = 0;          for(j = 1; j < i; j++)          {              if(dp[j]>m && a[j]<a[i])                  m = dp[j];          }          dp[i] = m+1;          if(dp[i]>ans)              ans = dp[i];      }      return ans;  }  

二分优化：

#include <cstdio>  #include <cstring>  #include <algorithm>  using namespace std;    int a[40007], dp[40007], n;    int bin(int len,int k)  {      int l = 1, r = len;      while(l <= r)      {          int mid = (l+r)/2;          if(k > dp[mid])              l = mid+1;          else              r = mid-1;      }      return l;  }    int LIS(int *a)  {      int i,j,ans=1;      dp[1] = a[1];      for(i = 2; i <= n; i++)      {          if(a[i] <= dp[1])//如果比最小的还小              j = 1;          else if(a[i] > dp[ans])//如果比最大的还大              j = ++ans;          else              j = bin(ans,a[i]);          dp[j] = a[i];      }      return ans;  }